石向阳
近几年高考，函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题，越来越受命题人的青睐.对于这类问题，学生很是困惑.下面就此类问题总结归纳如下：
命题1x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立f（x）的值域包含于g（x）的值域{f（x）|x∈A}{g（x）|x∈B}.
命题2x1∈A，x2∈B，都有f（x1）=g（x2）成立等价于f（x）的值域等于g（x）的值域{f（x）|x∈A}={g（x）|x∈B}.
命题3x1∈A，x2∈B，使得f（x1）=g（x2）成立f（x）的值域与g（x）的值域相交非空{f（x）|x∈A}∩{g（x）|x∈B}≠.
命题4x1∈A，x2∈B，都有f（x1）≠g（x2）成立f（x）的值域与g（x）的值域相交为空集{f（x）|x∈A}∩{g（x）|x∈B}=.
从集合子集的定义、集合相等的定义、集合交集的定义，不难理解上述命题的合理性.有了这些命题的帮助，我们能很好地破解与此相关的一些难题.
例1已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.设函数q（x）=g（x），x≥0，
f（x），x<0.是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
解当x<0时，有q′x=f′x=3x2-2（k2-k+1）x+5；当x>0时，有q′x=g′x=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0.
下面讨论k≠0的情形，记A={g′（x）|x>0}，B={f′（x）|x<0}，则A=（k，+∞），B=5，+∞
（ⅰ）当x1>0时，q′x在0，+∞上单调递增，所以要使q′x2=q′x1成立，只能x2<0，由命题1知AB，因此有k≥5；
（ⅱ）当x1<0时，q′x在-∞，0上单调递减，所以要使q′x2=q′x1成立，只能x2>0，由命题1知BA，因此k≤5.
综合（ⅰ）（ⅱ）k=5.
当k=5时，有A=B.则x1<0，q′x1∈B=A，即x2>0，使得q′x2=q′x1成立，因为q′x在0，+∞上单调递增，所以x2的值是唯一的；
同理，x1<0，即存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使q′x2=q′x1成立.
所以k=5满足题意.
例2已知函数f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1].
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.
解（Ⅰ）对函数f（x）求导，得f′（x）=-4x2+16x-7（2-x）2=-（2x-1）（2x-7）（2-x）2.
令f′（x）=0解得x=12或x=72.
所以，当x∈（0，12）时，f（x）是减函数；当x∈（12，1）时，f（x）是增函数.
当x∈[0，1]时，f（x）∈[-4，-3].
（Ⅱ）对函数g（x）求导，得g′（x）=3（x2-a2）.
因为a≥1，当x∈（0，1）时，g′（x）<3（1-a2）≤0.
因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）].
又g（1）=1-2a-3a2，g（0）=-2a，即x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a2，-2a].
任给x1∈[0，1]，f（x1）∈[-4，-3]，存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1），由命题1
知问题转化为[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].即1-2a-3a2≤-4，
-2a≥-3.解得1≤a≤32.
故a的取值范围为[1，32].
例3已知函数f（x）=x-4，g（x）=x3-3a2x-2a（其中a≥1），
（Ⅰ）若对于任意x1∈[0，2]，x2∈[0，1]，都有f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围.
（Ⅱ）若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围.
解（Ⅰ）当x∈0，2时，f（x）单调递增，所以，f（x）∈[f（0），f（2）]，即f（x）∈[-4，-2].由例2知g（x）∈[1-2a-3a2，-2a].
由命题2知，f（x）的值域等于g（x）的值域[1-2a-3a2，-2a]=[-4，-2].即1-2a-3a2=-4，
-2a=-2.解得a=1.故a的取值范围为{1}.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）∈[f（0），f（1）]=[-4，-3]，g（x）∈[1-2a-3a2，-2a]，由命题3知问题转化为[-4，-3]∩[1-2a-3a2，-2a]≠.当a≥1时有1-2a-3a2≤-4，所以只需-2a≥-4即a≤2.又a≥1，所以1≤a≤2.
例4已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x（a∈R），g（x）=196x-13.是否存在实数a，存在x1∈[-1，1]，x2∈[0，2]，使得f′（x1）+2ax1=g（x2）成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
解在[0，2]上g（x）=196x-13是增函数，故对于x∈[0，2]，有g（x）∈[-13，6].
设h（x）=f′（x）+2ax=3x2+2x-a（a+2），
当x∈[-1，1]时，h（x）∈[-a2-2a-13，5-a2-2a].
要存在x1∈[-1，1]，x2∈0，2，使得h（x1）=g（x2）成立，由命题3知问题转化为[-a2-2a-13，5-a2-2a]∩[-13，6]≠，
考虑反面，若[-a2-2a-13，5-a2-2a]∩[-13，6]=，
则-13>5-a2-2a或6<-a2-2a-13，解得a>-1+573或a<-1-573.
从而所求为-1-573≤a≤-1+573.
例5已知函数f（x）=（12）x-m，g（x）=x2.若对于任意x1∈[0，2]，任意x2∈[-1，3]，都有f（x1）≠g（x2）成立，求m的取值范围.
解由题意可得f（x）∈[f（2），f（0）]=[14-m，1-m]，g（x）∈[0，9]，由命题4知问题转化为[14-m，1-m]∩[0，9]=1-m<0或14-m>9m>1或m<-354.
综上可得m的取值范围为（-∞，-354）∪（1，+∞）.
几点补充说明：
（1）双变量中任意与存在性混搭的等式问题，可转化为两个函数的值域问题；
（2）由f（x）=g（x）f（x）≥g（x），
f（x）≤g（x）知，可将等式问题转化为不等式问题处理，如例2：对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1）成立x1∈[0，1]，x0∈[0，1]，有g（x0）≥f（x1），
g（x0）≤f（x1），g（x）max≥f（x）max，
g（x）min≤f（x）min，-2a≥-3，
1-2a-3a2≤-4.解得1≤a≤32，故a的取值范围为[1，32].
总之，双变量中任意与存在混搭等式问题，实质是研究相应函数值域问题，把任意与存在混搭等式问题化归为值域问题是解决问题的关键所在.
