李涛
题目（武汉市2016届高三四月调考理科数学第16题）记min{a，b}为a，b两数的最小值，当正数x，y变化时，令t=min2x+y，2yx2+2y2，则t的最大值为.
评析本题属于给出新定义，运用不等式的相关性质求解最值问题，学生测评的结果非常不理想，正确率极低，为便于讲评，考后与学生交流了解到流行于学生中的思路大致有两种.
思路1既然t的意义为表示两者中的较小者，那就分类讨论当t分别取2x+y或2yx2+2y2时，即而再求两类情形的最大值，最后大中取大即可，但具体到若t=2x+y再如何求t的最大值呢？学生们就戛然而止了，笔者经过思考得出此思路的处理.
解法1（1）若2x+y≤2yx2+2y2，则t=2x+y≤2yx2+2y2=2yx2+y2+y2≤2y2xy+y2=22x+y，得（2x+y）2≤2t2≤2，t≤2，
从而可得此时t的最大值为2（当且仅当x=y时取到此最大值）.
（2）若2x+y>2yx2+2y2，则t=2yx2+2y2.
①当2x+y≤2时，得t=2yx2+2y2<2x+y≤2；
②当2x+y>2时，可得t=2yx2+2y2≤22x+y<22=2.
综上可知，t的最大值为2.
评析上述处理从学生熟知的想法入手，通过对算式的有效放缩与分类讨论，虽最终获解，但技巧性太强，学生不易操控，难以驾驭.
思路2由于学生之前在资料书上做过一道习题：设f（x）=min{2x，x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值为，此题的处理是分别画出三个函数y1=2x、y2=x+2、y3=10-x在第一象限的图象，取其三者的较矮部分即为f（x）的图象，容易观察出f（x）图象的最高点的纵坐标即为所求最大值，可联立y2与y3的方程组求出其交点纵坐标，易知f（x）最大值为6，正是由于有此题解题经验的铺垫，数形结合的观点能否在本题中得到运用呢？而又因为2x+y与2yx2+2y2均为二元参数表达式，并不符合函数的特征，图象也无从画起，于是这种考虑又一次受阻.
解法2可设x=my（m>0），得
2x+y=（2m+1）y，2yx2+2y2=2y（m2+2）y2=2（m2+2）y.
所以t=min（2m+1）y，2（m2+2）y，将y换作x，视x为自变量，记y=（2m+1）x，y=2（m2+2）x（x>0），容易知道它们分别为正比例函数和反比例函数，画出其在第一象限的图象，易知两图象交点纵坐标即为t，联立y=（2m+1）x，
y=2（m2+2）x后，可求得交点的纵坐标y满足y2=2（2m+1）m2+2≤2（m2+1+1）m2+2=2y≤2，当且仅当m=1即x=y时t取到最大值2.
评析上述的处理是基于学生现有的解题积累之上的一种迎合，虽谈不上容易，但很好地运用了数学中的思想方法，随着解题的步步深入，使其一步一步回到学生可控可为的解题意愿上来，.本题的源头取自人教版选修45（不等式选讲）第10页第15题：已知a>0，b>0，且h=mina，ba2+b2求证：h≤22，由于此习题为《基本不等式》的课后练习，而且要证的形式是一种放大的需求，因此运用不等式的的基本性质进行合理的放缩成为解题的又一途径.
解法3由题意得，t≤2x+y，
t≤2yx2+2y2t2≤4xy+2y2x2+2y2≤2（x2+y2）+2y2x2+2y2=2，得t≤2，当且仅当t=2x+y，
t=2yx2+2y2，
x=y，即x=y=23时，t取最大值2.
评析形式上不够，放缩法来凑，把一个求最值的问题借助不等式的放缩来处理也是一种常用方式，但放缩的尺度如何把握是关键，有学生提出为什么是将不等式组相乘而不是相加来求其上界的最大值呢？笔者没有急于在课堂上给予答复，而是借机给出一个变式供学生思考：
记t=max{a，b}为a，b两数的最大值，当正数a变化时，令t=maxa，1a，则t的最小值为.
课堂上学生立刻就给出了两种思路：一是由t≥a，
t≥1at2≥1，进而可得当且仅当a=1时t取最小值1；二是将上述不等式相加得2t≥a+1a≥2t≥1，进而可得当且仅当a=1时t取最小值1.
此时学生已大致感悟出将所得的不等式组加或者乘都只是形式的选择，重要的是选择之后的结构是否有利于不等式的性质运用和推进，从而最终生成的常数才可能是整个解题追求的目标（须检验这个最值能否取到）.
数学是思维的体操，问题是数学的心脏，试题的讲评不能只是各种方法的简单罗列，而是依据学生应有的思路与困惑为生长点，不断调整教学预设，同时注重充实完善课本例题习题的二次挖掘与开发，用好用足课本，只有这样我们的习题教学才能做到最少的投入最大的产出，学生的思维品质才能不断得到优化.
是从1到n+k-1中取出的按由小到大次序排列k-1个数（yk=k+n已确定不用选）.由于（x1，x2，…，xk）与（y1，y2，…，yk）对应关系是一对一的，因此不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非负整数解的个数便是从n+k-1个数中取出的k-1个数的组合数，即Ck-1n+k-1=Cnn+k-1.
