梁昌金
我们默认自然数不包含0，用符号N表示全体自然数组成的集合.如果一个自然数p的因子只有1和p本身，我们就称p为素数.素数，又称之为质数.默认在自然数中，1不是素数.我们称自然数中其它非1、非素数的数为合数.所以根据我们的定义，1既不是素数也不是合数.在下面的讨论中，我们把素数按照递增的顺序写成一个序列：p1=2，p2=3，p3=5，p4=7，…，pn，….素数在自然数中占有重要的地位.回顾一下数的发展历史，整数的求逆运算使得数从自然数发展到全体整数.为了使乘除法在数中有良好的定义，数又从整数扩充到有理数.数从有理数到实数的扩充，可以理解为有理数的完备化过程.物理天文等进一步研究需求的产生，使得数又从实数扩充到复数.如果把复数看成一个物体，实数、有理数、整数、自然数等可以看成这个物体的一些基本的组成部件.下面定理使得我们可以将自然数看成全体素数的乘积，即素数可以看成自然数的组成“元素”，即从素数出发可以构造出全体复数！算数基本定理设n为一个大于1的自然数，则有
n=p1p2…ps，其中s为某自然数，pj（1≤j≤s）是素数，并且在不记素数排列次序的意义下，上式分解是唯一的.素数在实际中也有很多应用.在密码学中，一些公钥加密体系就是将想要传递的信息在编码时加入质数计算，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥（某个素数），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久而使取得的信息也会无意义.在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障.在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明.实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性.以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截.多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会.关于素数有无穷多个的证明，早期经典的证明可以追溯到欧几里德（Euclid）的《几何原本》.这也用到了数学中的反证法.
证法1（Euclid的证明）：假设p1
