时英雄 马艳
问题（2018年高考理科数学全国（Ⅰ）卷第16题）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是
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解法赏析
思路1f（x）=2sinx+sin2x，由周期函数不妨设x∈0，2π，
f′x=2cosx+2cos2x=2（2cos2x+cosx-1）=2（2cosx-1）（cosx+1）.
所以，fx在0，π3，5π3，2π上递增，在π3，5π3上递减.
所以f（x）min=min{f（0），f（5π3）}=min0，-332=-332，当x=2kπ-π3，k∈[WTHZ]Z[WTBX]时取等号.
思路2
f（x）=2sinx+2sinxcosx=2sinx1+cosx
≥-21-cos2x·1+cosx2
=-231+cosx33-3cosx≥-2331+cosx+3-3cosx44
≥-23644=-332，所以f（x）min=-332.取等号条件同思路1.
思路3f（x）=2sinx+2sinxcosx=2sinx1+cosx=8sinx2cos3x2.
令t=sinx2cos3x2
t2=13×3sin2x2·cos2x2·cos2x2·cos2x2≤133sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x244
=13344，所以t∈-3316，3316，f（x）min=-332，取等号条件同思路1.
或者f2（x）=4（1-cosx）（1+cosx）3=[SX（]4[]3[SX）]（3-cosx）（1+cosx）（1+cosx）（1+cosx）≤[SX（]4[]3[SX）][JB（（][SX（]3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx[]4[SX）][JB））]4=[SX（]27[]4[SX）]，当且仅当3-3cosx=1+cosx，即cosx=[SX（]1[]2[SX）]时，取等号.有f（x）min=-[SX（]3[KF（]3[KF）][]2[SX）].
思路4f（x）=8sinx2cos3x2=8sinx2cos3x2sin2x2+cos2x22=8tanx2tan4x2+2tan2x2+1
令t=tanx2，所以fx=ft=8tt2+12.
f′t=-83t4+2t2-1t2+14，ft在-
SymboleB@ ，-33，33，+
SymboleB@ 上遞减，在-33，33上递增.
又t→+
SymboleB@ 时，ft→0，
所以f（x）min=f（t）min=f（-33）=-332.取等号条件同思路1.
作者简介时英雄，男，中学一级教师，现任教于安徽省合肥市第一中学，从事高中数学教学及数学解题方法的研究，已在《中学数学》、《中学数学杂志》等省部级期刊上发表数学论文30余篇.
[HT][HJ][FL）]
[JZ（][HT2Y3]2018年高考数学浙江卷第21题引发的探究
[HT][HT5K]浙江省宁波市第四中学315016[HT5H]魏定波
[JZ）][HT]
[FL（K2]
[STFZ]1试题呈现
[TP魏定波-1.tif，Y][TS（][JZ]图1[TS）]
如图1，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y24=1（x<0）上的动点，
求△PAB面积的取值范围（2018年高考浙江卷第21题）.
抛物线具有结构简单优美、代数计算量适中的特点，因此常常受到命题者的青睐.本题设计巧妙，不落俗套，创新意识突出，具有良好的区分度，而且它的许多性质源于著名的“阿基米德三角形”.
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