叶立军 王思凯
【摘 要】 从设计特征、知识编排、例习题设置等方面比较两版教材三角函数内容，得出新版教材特征：体现以生为本的“学材观”，为学生提供更多学习机会;突出单元任务群意识，帮助学生加深对知识的整体理解;借助工具“以形助数”，促进学生对知识的直观理解;注重三角函数与生活实际的联系，凸显函数建模过程.由此提出教学建议：落实“学为中心”的教学理念，培养学生终身学习的能力;注重单元整合，发展学生数学核心素养;发挥信息技术辅助教学的直观功能，提升学生直观想象素养;重视过程性教学，促进学生数学思维发展.
【关键词】 三角函数;高中数学;教材;比较研究
1 研究背景
《普通高中数学课程标准（2017年版）》的颁布，正式提出了六大数学核心素养，发展学生数学核心素养成为数学课程的核心目标.数学教材是数学课程标准的具体化，编写以培养学生核心素养为特色的教材，是高中数学课程改革的主要亮点[1].三角函数作为一类典型的周期函数，曾是天文学研究的重要工具，是各国高中数学课程的核心内容之一[2]，其内容编排在教材修订的过程中也发生了变化.
2 研究目的
根据教材文本内容，从宏观和微观两个角度对教材进行定性和定量分析，比较两版教材在设计特征、知识编排、例习题设置等方面的情况，归纳新版教材特征，并对教师使用新版教材提出教学建议.
3 研究设计
3.1 研究对象
选择2019年新版普通高中数学教科书[3]（下简称“新版教材”）和2004版普通高中课程标准实验教科书[4]（下简称“旧版教材”），运用文本分析法和统计分析法，对新旧两版教材三角函数内容进行比较研究.3.2 研究框架
从宏观和微观两个角度构建教材比较模型，得到图1的研究框架.其中，宏观比较是从体例结构和章节设置两方面分析两版教材的三角函数内容;微观比较是着眼于三角函数内容的知识点和例习题，从知识编排、素材选取、例习题设置三方面进行分析.
4 研究过程及结果
4.1 宏观比较
4.1.1 体例结构
整理两版教材三角函数内容的体例结构，得到图2和图3.
由图2和图3可知，两版教材的体例结构均遵循“章导入——正文——小结——复习”的顺序，但在具体设置上存在差异.旧版教材共安排43处“思考”“探究”，而新版教材有49处，以问题（链）的形式提供学生更多思考机会，突出“问题引导学习”的理念.而且新版教材在“思考”“探究”体例编排中渗透类比、化归等数学思想方法，引导学生在问题探究中学会将未知转化为已知.另外，新版教材在各节均设置导入语（如图5），从不同背景引出本节研究问题，帮助学生明确学习任务，引领学生数学思考，并通过联系或类比前面所学内容呈现学习思路，为学生后续探究活动提供方法上的引导.
4.1.2 章节设置
整理两版教材三角函数内容的章节设置，得到表1.
由表1可知，新版教材将旧版教材的两章内容整合为一章，注重三角函数内容的整体性.具体比较发现：第一，新版教材以角与弧度作为刻画圆周运动的预备知识，按照“背景——对象——概念——图象——性质——应用”的结构展开各节编排;第二，如图6所示，新版教材以单位圆为纽带串联三角函数知识，充分发挥单位圆对学习三角函数知识的辅助作用，借助其“形”让学生直观感知学习对象，强调知识间的有机衔接.
4.2 微观比较
4.2.1 知识编排
“三角函数的概念”和“函数y=Asin（ωx+φ）及其应用”是三角函数学习中的重要内容，比较两版教材这两部分内容的知识编排，分别得到表2和表3.
由表2可知，新版教材按照“明确研究对象——分析对应关系——定义——性质”的路径编排知识：（1）将三角函数的研究对象“周期现象”简单化为单位圆上点的旋转运动，以“建立数学模型刻画点的位置变换情况”任务引领学生学习，也为后续学生自然借助单位圆探究内容做铺垫;（2）引导学生探究给定角的终边与单位圆交点的坐标是否唯一确定并一般化为任意角的情况，突出三角函数“角的弧度数与点的横纵坐标”的本质，有助于学生运用已有函数概念深化对三角函数定义的理解;（3）借助例题探究三角函数坐标比的定义引导学生思考三角函数两种定义之间的等价性.另外，新版教材删去正弦线、余弦线等知识，以凸显单位圆在学习三角函数内容中的重要辅助作用.
由表3可知，新版教材从分析筒车灌溉时盛水桶的运动规律入手选择三角函数构建盛水桶运动的数学模型，得到y=Asin（ωx+φ），并安排摩天轮实例让学生经历问题分析、模型建立、模型求解、模型应用解决问题的步骤，体现函数建模的思想.同时，新版教材选择匀速圆周运动、物理中的周期现象、局部范围内周期变化现象的近似刻画等实例介绍三角函数的应用，是从三角函数模型的直接应用走向变式应用，既体现三角函数应用的丰富性和层次性，又有助于学生更好体会模型的实际应用，感悟建模思想.
4.2.2 素材选取
比较两版教材三角函数内容的素材选取情况，得到图7.
由图7可知，新版教材的素材总数多于旧版教材，但是两版教材都选择自然现象（如潮汐）、学科（如简谐运动）、生理（如血糖浓度）、数学史（如三角函数表）等不同素材，注重知识背景的多样化.具体来看，新版教材精选生活素材，删去手表校准、电视发射塔等素材，增加钟摆摆动、水中浮标上下浮动、琴弦振动等生活中的周期运动变化现象，更體现三角函数与现实生活的密切联系.而且新版教材选取水车、摩天轮等现实素材，引导学生经历真实的建立三角函数模型解决实际问题的过程，凸显模型的现实应用性.
4.2.3 例习题设置
统计两版教材三角函数内容的例习题数量，得到表4.
由表4可知，与旧版教材相比，新版教材的例习题总数减少，习题和复习参考题的数量减少，练习的数量适当增加，例题的数量无明显变化.但两版教材的例习题均包括例题、练习、习题和复习参考题四类，且配备足够数量的题目以保证学生巩固知识的必要训练.
根据综合难度模型[5]，比较两版教材例习题的综合难度，得到图8.
由图8可知，在背景方面，两版教材例习题背景的来源单一，以纯数学背景为主，但新版教材的数值略高于旧版教材，选取花坛、摩天轮等素材，注重知识与生活的联系.在数学认知上，新版教材的数值明显高于旧版教材.新版教材增设多项选择题以及开放性问题，综合考察学生三角函数知识的理解和应用，保证必要的数学思维训练.另外，两版教材例习题处于“操作”水平居多，重视三角函数公式的识记与直接应用.
在运算方面，两版教材的“简单符号运算”最多，“无运算”次之，大多数例习题均涉及数学中常见的三角函数符号，注重学生对三角函数值的求解.在推理和知识综合方面，新版教材的数量都略高于旧版教材.新版教材删减直接应用公式求解三角函数值等简单重复的题目，控制题量的同时注重学生知识的理解和综合应用.
5 研究结论
5.1 新版教材体现以生为本的“学材观”，为学生提供更多学习机会
新版教材在各节编排上均设置节前导入语，帮助学生把握主要研究问题，并指引思考方向，引领学生数学思考;而且安排“探究”“思考”等体例，以问题（链）驱动的形式引导学生自主建构知识，为学生进行探究学习提供机会和可能.同时，新版教材从学生学习需求出发，增设开放性的习题供学生自主开展探究活动，培养学生发散思维.
5.2 新版教材突出单元任务群意识，帮助学生加深对知识的整体理解
新版教材围绕三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，按照“背景——角与弧度——概念——图象、基本性质——其他性质——模型应用”的结构编排章节内容，且各节均先以导入语引出核心探究任务，再以问题为中心实现任务的驱动.新版教材通过设置一系列前后关联的探究任务，展开三角函数知识的学习过程，既体现了单元任务群的意识，又注重知识间的有机衔接，有助于学生整体把握三角函数内容.
5.3 新版教材借助工具“以形助数”，促进学生对知识的直观理解
新版教材将单位圆作为三角函数内容学习的重要载体，运用信息技术充分发挥单位圆的工具性作用，直观呈现探究问题的信息，并借助单位圆的几何要素及性质让学生获得对三角函数概念、诱导公式等知识的直观感知，以此建立形与数的联系，以形助数，帮助学生直观理解三角函数知识.
5.4 新版教材注重三角函数与生活实际的联系，凸显函数建模过程
新版教材增加钟摆、水中浮标等生活素材，列举生活中的周期性运动变化现象，丰富知识的生活背景，并在习题中增加生活背景，体现三角函数与现实生活的密切联系.而且新版教材从水车灌溉的实际问题出发，选择三角函数构建水桶运动的数学模型，并以摩天轮、港口水深等典型实例让学生经历数学建模解决实际问题的步骤，突出函数建模过程.
6 研究启示
6.1 落实“学为中心”的教学理念，培养学生终身学习的能力
学为中心的课堂强调自主学习先于合作，将学生思考、理解和能力提高放在首位，教师起组织、引导和帮助学生学习的作用[6].教师在课堂中应扮演先行组织者的角色，从学生学习需要出发合理安排教学活动，充分发挥学生学习的主观能动性，为学生自主学习提供更多机会，从而帮助学生积累学习经验，发展终身学习的能力.例如，教师可以通过任务驱动的形式带领学生阅读章节导入语，引领学生数学思考，并借助“探究”“思考”等栏目，设置合理的脚手架為学生提供探究资源，指引思考方向，激发学生深度思考.
6.2 注重单元整合，发展学生数学核心素养
单元教学设计是在整体思维指导下，统筹重组和优化教材内容，突出数学内容的主线及知识的关联性，提升学生数学核心素养[7].教师应树立整体意识，围绕核心探究任务，分析并重组教材中具有内在关联的知识内容，通过单元整合使得局部范围内的知识结构化，帮助学生合理建构系统化的认知结构.例如，教师可以围绕函数性质的学习过程整合正、余弦函数的图象、性质等内容，将之划分为：①由定义绘制图象（三角函数图象的画法）;②观察图象研究性质（周期性等）;③图象与性质的应用，以此展开单元教学，使不同知识互相联结，构成有机整体，帮助学生积累函数知识学习的基本经验，发展数学素养.
6.3 发挥信息技术辅助教学的直观功能，提升学生直观想象素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：数学教学应注重信息技术与课程的深度融合[8].教师要充分利用信息技术辅助课堂教学的优势，发挥几何画板、计算机等信息技术丰富的制图与动态呈现功能，通过直观演示将抽象的数学知识可视化，借助“形”的直观帮助学生深化知识理解，提升直观想象素养.例如，教师借助信息技术动态呈现任意角的终边与单位圆交点的坐标变化，让学生直观感知交点坐标的唯一确定以获得对三角函数概念的本质理解;利用信息技术在单位圆上取点绘制图象，使学生直观理解三角函数的周期性.
6.4 重视过程性教学，促进学生数学思维发展
数学是思维的体操，启发学生的数学思考是数学教学的关键[9].教师在教学中要引导学生经历数学知识的发生发展过程，在过程性体验中开展认知活动，启发学生数学思考，锻炼学生数学思维.例如，教师可以从数学活动的三个阶段（对经验材料的数学组织、对数学材料的逻辑组织、对数学理论的应用）出发设计三角函数模型的教学活动，选取典型实例安排学生依次经历问题分析、建模、求模、用模的过程，让学生在参与建模活动过程中习得数学建模基本经验，提升建模能力，促进思维发展.
参考文献
[1] 章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016，36（07）：44-49.
[2] 宋丹丹，曹一鸣.高中三角函数内容的国际比较——基于12个国家高中数学课程标准的研究[J].中学数学教学参考，2017（Z1）：131-133.
[3] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中教科书数学必修第一册（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.6：167-257.
[4] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学必修4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.2：1-71，122-147.
[5] 王建磐，鲍建生.高中数学教材中例题的综合难度的国际比较[J].全球教育展望，2014，43（08）：101-110.
[6] 许芬英.学为中心的初中数学课堂特征和教学基本模式初探[J].课程·教材·教法，2014，34（05）：53-57.
[7] 吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J].当代教育与文化，2016，8（04）：41-46.
[8] 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.1.
[9] 史宁中，王尚志主编. 普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018.5.
