钟劲松
1 前言
美国数学天才选拔赛（USAMTS——USA Mathe-matical Talent Search）是一项针对美国所有初、高中学生进行的免费、开放性的数学竞赛。数学竞赛试题从易到难，目的是选拔最优秀的学生。USAMTS是Art of Problem Solving Initiative的子项目，主要由美国国家安全局（National Security Agency）等赞助。该项比赛分三轮——初赛、复赛和决赛，所有参赛学生必须在一个月之内完成，学生可查阅资料，借助计算器和计算机等，但所有问题的解决必须是独自完成，不能求助其他人。该项比赛主要训练参赛学生的分析问题、解决问题和规范表达的能力，同时对学生的洞察力、创造力和毅力等都有很高的要求，这些能力、品质和意志的形成对将来的科学研究有很大的帮助。本文选取第3l届（2019-2020）第一轮比赛（初赛）的全部5道题，并给出解答过程和点评。本文旨在让读者对USAMTS竞赛及其试题特色有大致了解，文章最后对第31届USAMTS数学竞赛试题（第一轮）特色进行归纳和总结。
2 试题赏析
试题l1如图l，把网格（单位长度为1）分成1*1和1*2的矩形，其中1*1的矩形中画*，1*2的矩形画连接两个小正方形的中心线段。规定：两个用*填充的单位正方形不能共边，且在粗线（黑色边界）两侧，1*2矩形中填充的线段方向相对（垂直）。请给出填充方案。
解析 如图2所示。
点评 本题填充方式唯一，不需要证明填充方式的唯一性，仅需要找到满足条件的填充方式即可。但在其他非类似填充数字或图形的问题中。需要给出问题的完整求解和证明过程。
点评 本题直接证明比较困难，所以采用反证法。证明的关键是如何反设以及证明时思维的缜密性。证明的方法虽然类似。但不能够在证明的过程中不交代，否则就是考虑问题不周全，不能够得满分。即通过假设证明x=y后，我们还要说明通过同样的方法可以证明r=x，最后得出所要的结论。
试题3如图3，圆O内接于单位正方形PlUM，点I，E在圆ω上，且U，I，E三点共线，求三角形PIE的面积最大值。
解析 设点O为圆ω的中心，即圆心;分别过点P、O作直线IE的垂线，垂足分别为X、Y，如图所示。
点评 本题是一道几何题，方法有多种。本文给出的方法关键是论述能否达到取最大值的条件，通过构造的方法找出满足条件的点I，E，使得∠IOE=90°，这一步非常关键，思路利用圆幂定理，综合性较强。
试题4100个朋友围成一个圈，开始时，某人有2019个芒果，其他人没有芒果。朋友间可通过如下规则分享芒果：
（1）分享：2个芒果给左边的朋友，1个芒果给右边的朋友：
（2）吃：芒果必须被吃或者分享，由于不能吃得太多或者自私不分享。每次若某人吃掉1个芒果，他必须传递1个芒果给右边的朋友。
若某人至少有3个芒果，他们可以选择仅分享：若某人至少有2个芒果，他们可以选择仅吃掉。朋友间互相分享或者吃掉芒果，直到所有的芒果被吃掉后再也没有芒果能够分享和被吃掉。
证明 最后恰有8人手中的芒果既不能吃掉，也不能被分享。
解析 将圆周上的100个人进行编号。从0到99，规定编号为0的人拥有2019个芒果，编号为1的位于编号为0的人的右边。
到最后，直到某人拥有0或者1个芒果后，则他不可能吃掉或者再分享芒果。
因为刚开始时，f（m）=2019，芒果被分享和吃掉的过程不影响f（m）的值，也就是在结束的时候，f（m）的值也必为2019.
3 特色总结
1.笔者通过对近两年美国USAMTS数学竞赛题的研究发现，其考试针对的是美国所有的学生，问题的解决可以借助计算机和计算器，或者参考网络和书籍，但不能让其他人帮助解决，在规定的时间内必须独立完成，且按照规定的文档模板（tex模板）撰写答案，递交给定邮箱。这对考生的毅力、科研能力以及论文撰写能力是一次很好的考查。更能考查考生的诚信、守信、坚持等好的品质。
2.通过研究试题发现。通常题目的解答没有常规套路可寻，没有哪一题一看就知道使用何种方法，绝大部分题均需要认真观察、抽象、猜想、论证等。比如第l题的图形填充问题，第4题较为新颖。第2题解题的主要方法为反证法，关键将反面列全且证明清楚。第3题为纯平面几何题，解决方法较多，本方法体现了先猜后证的思想。第5题为一道综合性的数列题，对考生的要求较高。
3.USAMTS是一项个人数学竞赛，成绩好的选手可以被邀请参加AIME（美国数学邀请赛），甚至直接进入美国国家数学奥林匹克队。在被允许的情形下，考生的姓名和地址提供给大学和用人单位，作为录用参考。竞赛有专门的网站ww.usamts.org，在网站中包含历年的试题及解答过程。包括usamts競赛的起源、历史以及参赛注意的事项等等。
