苏计峰
近日，笔者发现了关于三角形不等式的如下一个基础性结论：
定理 在△ABC中，a，b，c为其三边长，p为其半周长，R，r分别为其外接圆和内切圆半径，则有
p4-2（2R2+10Rr-r2）p2+（4R+r）3r≤0.①
证明 设△ABC的面积为S，若用Π表示循环积，则由正弦定理及A+B+C=π知
p=12a+b+c=RsinA+sinB+sinC=RsinA+2sinB+C2cosB-C2
=R2sinA2cosA2+2sinπ-A2cosB-C2=2RcosA2sinA2+cosB-C2
=2RcosA2cosB+C2+cosB-C2=4RcosA2cosB2cosC2=4RΠcosA2.
由S=12bcsinA=rp及二倍角公式、正弦定理知
r=Sp=12bcsinA4RΠcosA2=2R2sinAsinBsinC4RΠcosA2=4RΠsinA2.
因此不等式①等价于
4Πcos4A2-Πcos2A2-20ΠsinA2cos2A2+8Πsin2A2cos2A2+4ΠsinA2
+12Πsin2A2+12Πsin3A2+4Πsin4A2≤0.②
由对称性不妨设A是△ABC的最小内角，那么有0
由ΠcosA2=12cosA2cosB+C2+cosB-C2=12cosA2cosB-C2+sinA2及ΠsinA2=12sinA2cosB-C2-cosB+C2=12sinA2cosB-C2-sinA2知
4Πcos4A2-Πcos2A2-20ΠsinA2cos2A2+8Πsin2A2cos2A2
+4ΠsinA2+12Πsin2A2+12Πsin3A2+4Πsin4A2
=14cos4A2cosB-C2+sinA24-14cos2A2cosB-C2+sinA22
-52sinA2cos2A2cosB-C2-sinA2cosB-C2+sinA22+12sin2A2cos2A2cos2B-C2-sin2A22+2sinA2cosB-C2-sinA2+3sin2A2cosB-C2-sinA22+32sin3A2cosB-C2-sinA23+14sin4A2cosB-C2-sinA24
=14cos4A2cos4B-C2+cos4A2sinA2cos3B-C2+32cos4A2sin2A2cos2B-C2
+cos4A2sin3A2cosB-C2+14cos4A2sin4A2-14cos2A2cos2B-C2-12cos2A2sinA2cosB-C2-14cos2A2sin2A2-52sinA2cos2A2cos3B-C2-52sin2A2cos2A2cos2B-C2
+52sin3A2cos2A2cosB-C2+52sin4A2cos2A2+12sin2A2cos2A2cos4B-C2
-sin4A2cos2A2cos2B-C2+12sin6A2cos2A2+2sinA2cosB-C2-2sin2A2+3sin2A2cos2B-C2-6sin3A2cosB-C2+3sin4A2+32sin3A2cos3B-C2-92sin4A2cos2B-C2+92sin5A2cosB-C2-32sin6A2+14sin4A2cos4B-C2-sin5A2cos3B-C2+32sin6A2cos2B-C2-sin7A2cosB-C2+14sin8A2=14cos4A2+12sin2A2cos2A2+14sin4A2cos4B-C2
+sinA2cos4A2-52sinA2cos2A2+32sin3A2-sin5A2cos3B-C2
+（32sin2A2cos4A2-14cos2A2-52sin2A2cos2A2-sin4A2cos2A2+3sin2A2-92sin4A2+32sin6A2）cos2B-C2+sin3A2cos4A2+52sin3A2cos2A2-12cos2A2sinA2+2sinA2-6sin3A2+92sin5A2-sin7A2·cosB-C2+14sin4A2cos4A2-14sin2A2cos2A2+52sin4A2cos2A2+12sin6A2cos2A2-2sin2A2
+3sin4A2-32sin6A2+14sin8A2
=14cos4B-C2+2sin3A2-32sinA2cos3B-C2
+4sin6A2-6sin4A2+94sin2A2-14cos2B-C2+-2sin3A2+32sinA2cosB-C2
+-4sin6A2+6sin4A2-94sin2A2
=14cos4B-C2-cos2B-C2+2sin3A2-32sinA2cos3B-C2-cosB-C2
+4sin6A2-6sin4A2+94sin2A2-14cos2B-C2-1
=14cos2B-C2-1cos2B-C2+42sin3A2-32sinA2cosB-C2+44sin6A2-6sin4A2+94sin2A2
=14cos2B-C2-1cos2B-C2+42sin3A2-32sinA2cosB-C2+42sin3A2-32sinA22
=14cos2B-C2-1cosB-C2+4sin3A2-3sinA22
=14cos2B-C2-1cosB-C2-sin3A22≤0，
即不等式②成立，從而不等式①成立，证毕.
从证明可以看出，不等式①取等号的条件是cos2B-C2=1或者cosB-C2=sin3A2.
当cos2B-C2=1时，由于0 当cosB-C2=sin3A2时，有cosB-C2=cosπ2-3A2由于0 综上可知不等式①取等号的条件是△ABC是等腰三角形. 下面我们证明不等式①强于著名的Gerresten不等式16Rr-5r2≤p2≤4R2+4Rr+3r2. 证明 由于42R2+10Rr-r22-44R+r3r =44R4+100R2r2+r4+40R3r-4R2r2-20Rr3-464R3+48R2r+12Rr2+r3r=16RR3-6R2r+12Rr2-8r3=16RR-2r3， 由于有著名的Euler不等式R≥2r，由不等式①可得 2R2+10Rr-r2-2R-2rRR-2r≤p2≤2R2+10Rr-r2+2R-2rRR-2r. ③ 下面先证明2R2+10Rr-r2-2R-2rRR-2r≥16Rr-5r2.④ 由Euler不等式R≥2r知不等式④等价于 R2-3Rr+2r2≥R-2rRR-2r⑤ R-2rR-r≥R-2rRR-2r R-2r2R-r2-RR-2r≥0 R-2r2r2≥0⑥ 不等式⑤显然成立，从而不等式④成立. 下面再证明2R2+10Rr-r2+2R-2rRR-2r≤4R2+4Rr+3r2.⑦ 显而易见，不等式⑦也等价于不等式⑤，证毕. 近年来，诸多文献对若干三角不等式进行加强，其证明多数是通过正弦定理、余弦定理、特殊线段长度公式、边长表示的半角公式及一些基本结论转化成p，R，r之间的关系，然后通过Gerresten不等式进行放缩，比如文献[1]至文献[7]等.显而易见，如果运用不等式①或③，还会得到更强的结果. 文[8]中，郭要红老师在进一步加强Milosevic不等式的时候，利用了如下两个不等式： p2≥2r4R+r2R-rR⑧ p2≤22R2+r2R+rR⑨ 下面我们证明以上两个结果均弱于不等式③. 由Euler不等式R≥2r知 2R2+10Rr-r2-2R-2rRR-2r≥2r4R+r2R-rR 2R3+10R2r-Rr2-2RR-2rRR-2r≥2r4R+r2R-r 2R3-6R2r+3Rr2+2r2≥2RR-2rRR-2r⑩ R-2r2R2-2Rr-r2≥2RR-2rRR-2r R-2r22R2-2Rr-r22-4R3R-2r≥0 R-2r24R+rr3≥0B11 不等式B11显然成立，从而不等式③强于不等式⑧. 显而易见2R2+10Rr-r2+2R-2rRR-2r≤22R2+r2R+rR也等价于不等式B10，从而不等式③强于不等式⑨. 文[9]中，褚小光老师将待证的不等式4RR+r+4S2a2+b2+c2≥p2等价转化为 -p4+4R2+8Rr+3r2p2-4RrR+r4R+r≥0.B12 事实上，由不等式①、⑨及Euler不等式知 -p4+4R2+8Rr+3r2p2-4RrR+r4R+r =-p4+22R2+10Rr-r2p2-4R+r3r+4R+r3r-4RrR+r4R+r-12Rr-5r2p2 =-p4+22R2+10Rr-r2p2-4R+r3r+4R+r12R2+4Rr+r2r-12Rr-5r2p2≥4R+r12R2+4Rr+r2r-12Rr-5r2p2 ≥4R+r12R2+4Rr+r2r-22R2+r2R+r12Rr-5r2R =4R2r3-13Rr4+10r5R=4R-5rR-2rr3R≥0，即有不等式B12成立. 參考文献 [1] 杨克昌.关于几个命题的加强[J].娄底师专学报，1992，8（02）：1928. [2] 吴善和.两个猜想不等式的加细[J].贵州教育学院学报，2001，12（02）：1113. [3] 李永利.涉及三角形高线的又一不等式[J].数学教学研究，2001（03）：3738. [4] 曾峥.对Milosevic不等式的推广与证明[J].中山大学学报，2002，41（03）：116118. [5] 孔凡哲，曾峥. Milosevic不等式的改进和加强[J].五邑大学学报，2001，15（03）：3942. [6] 李永利.数学问题2469的解答[J].数学通报，2019，58（03）：63封底. [7] 杨续亮，苏岳祥.欧拉不等式一个三角形式的类比[J].数学通报，2018，57（12）：6061. [8] 郭要红.对Milosevic不等式的再研讨[J].数学通报，2020，59（02）：6061. [9] 褚小光.关于三角形一动点的若干不等式[J].滨州师专学报，2001，17（02）：3439. 作者简介 董林（1975—），男，山东高青人，中学高级教师，高青县第一中学党委副书记、副校长，主要从事初等数学和中学数学教学研究，近年来，在中学数学专业刊物上发表论文190余篇.
