柯西平均值定理作为已经被证明的数学难题，在高中数学中就有应用。它又叫柯西不等式，也称为柯西均值定理，一般表述为：n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。
设有n个非负实数X1，X2，X3……Xn，则有
今天我们用Python、Scratch和APPInventor来做简单验证。一、创意来源
在Python学习中，解决数学问题可以帮助我们显著提高学习效果。近几期我们一直在分享研究历史数学难题的收获，希望对大家有所帮助。二、设计思路
定理内容比较简单，就是需要计算算术平均值和几何平均值。算术平均值，就是n个正数的和除以n得到的结果。几何平均值，是n个正数的积，开n次方得到的结果。
让程序先产生n个随机数，再计算两个平均值，最后进行比较即可。
但随机数如果都是正整数，验证结果受限，还要用小数来验证。为了产生n位的小数，将范围扩大10n倍，产生随机数后，再缩小10n倍，这样便可用整数和小数来验证。
在实际运行过程中，却出现了一个问题。那就是小数位数有上限，三种语言都出现了这种情况，比如Python就是17位有效数字。所以在程序中都需要根据语言环境进行相应的处理。三、程序设计过程（一）Python程序设计
本例涉及等级考试二级内容。通过键盘输入范围、数据个数和小数位数后，首先做范围处理，如果范围的位数和小数位数的和超出17位，则不做验证（图1）。
然后随机生成n个数p位小数，添加到列表中，再计算算术平均值和几何平均值。最后做比较，输出结果。
程序不是很难，主要是用到了两个函数。一个是random库中的randint（）函数产生一定范围内的随机整数，还有一个是pow（x，y）函数，是求x 的y次方，我这们这里利用这个函数做开n次方运算，即y值在（0，1）之间的值为开方运算，比如pow（2，1/2），即是求2的平方根。（二）Scratch程序设计
1.首先初始化，键盘输入范围、个数和小数位数（图2）
同时清空数据列表，将4个变量初始化。
2.产生n个随机数并计算
循环“个数”次，产生的n个随机数，进行加法和乘法运算，保存在变量中，同时将数据添加到列表中，以备查看（图3）。
3.求出几何平均值和算术平均值
算术平均值就是用n个数的和除以n，得到的结果（图4）。
几何平均值是将n个数的积，开n次方根的结果。因为Scratch里没有提供开n次方根的积木块，这里利用了指数和对数的性质。公式中n就是数据的个数，“积”为保存n个数积的变量。
4.输出结果
先判断几何平均值是不是超出范围，再判断小数位数和扩大范围后的值，是不是超出范围，如果都没有超出范围，则判断几何平均值是否小于或等于算术平均值，如果满足条件，则说明柯西平均值定理成立，说：“柯西平均值定理成立”5秒，否则说“柯西平均值定理不成立”5秒（图5、图6）。
（三）APPInventor程序設计1.UI设计
界面设置参考APP运行结果。注意设置3个文本输入框的提示信息。
2.变量与初始化
变量6个，功能如下。验证数据列表，存储随机产生的验证数据。随机数，即保存每次产生的随机数。其他4个变量如名字（图7）。
3.清除数据和退出
清除按钮：清除输入的数据，回到初始状态。退出按钮：退出APP程序（图8）。
4.提交
这也是最重要的按钮，显示我们需要的数据。初始化显示结果标签，清除验证数据列表数据，初始化变量列表元素和、列表元素积。
在APPInventor里，对于精度范围我也是第一次测试，才发现精度受限还是挺严重的。整数最大是10位，而且前两位数字一定是“10”，所以设定范围不能多于9位;其次小数最多是5位。
输入数据处理，首先是判断三个文本输入框是否为空，为空则提示输入。然后判断输入的小数位数，超过5位则提示不能超过5位。再判断无小数位数时，取值范围是否超过9位数，超过9位则提示不能超过9位。再判断有小数位数时，取值范围是否超过6位数，超过6位则提示有小数时，不能超过6位。如果超出范围则使用科学计数法，无法看到真实的数据。所以做了限制，这个精度应该是APPInventor默认的精度。
最后判断范围和10的小数位数次方之积，是否超过10的9次方，超过则提示减小范围或小数位数（图9）。
按输入的个数要求，产生n个数据，并做加法和乘法，同时添加到验证数据列表中，以最后显示验证数据。变量“随机数”保存的是随机产生的数据。为了得到小数，将随机生成的“范围”内的整数扩大n倍，再缩小n倍，因而才有了有效数字的限制。
计算两个平均值，并在显示结果文本标签中显示出来，更直观明了。乘积开方算法与Scratch一致。
比較两个平均值，如果几何平均值不大于（小于或等于）算术平均值，则说明柯西平均值定理成立，否则说明不成立。最后把验证的数据，用列表的形式显示出来。（四）测试与改进
1.Python和Scratch图形化程序测试
两个程序的测试比较简单，给定范围和测试数据的个数、小数位数，就可以直接测试，结果很快就出来。需要根据软件默认精度改进小数位数问题。
2.APPInventor测试
超出精度限制时，APPInventor会用科学计数法显示，无法看到测试结果。当范围降低一位时，显示正常。所以对数据的取值范围做了具体限制（图10）。
（五）精度和有效数字Python和Scra
tch精度可以达到17位有效数字，一般情况下足够了。而APPInventor的小数位数最多就5位，所以解决它的精度问题更加有必要。
我想到的方法，就是分别生成整数部分和小数部分，再合并到一起，这样小数和整数就都能有10位了。如果需要对多个值计算，道理是一样的，可以做连乘或连加或其他运算。测试代码如下（图11）。
生成的数值在我们所希望的范围内，直接利用字符串合并成一个小数，APPInventor在计算时，不区分数值和字符串的数字，但如果执行运算则会保留5位小数。所以测试结果里，生成的两个数是满足条件的，再计算后的结果就又是5位小数了。起初只是验证柯西定理，但验证过程中发现了更多问题，在深入探讨后我们的能力是不是提高了？
