王德贵
“群牛问题”在古希腊科学家阿基米德的研究课题中比较特别，是以诗句的形式出现在给埃拉托塞尼的一封信中。虽然其真实性有待考证，因为“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已，但历史上对这个问题的研究，却丰富了初等数论的内容。
下面我们也来分析一下群牛问题，并用Python求解验证。（一）群牛问题
太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？（二）创意来源
通过了解知名数学难题的解题思路，并将其用于Python编程，提高我们的数学和编程水平。在我搜索的“100个数学难题”中第一个问题就是“群牛问题”，经过分析和研究，自觉颇有收获。
这是一道解不定方程组问题，有8个未知数，7个方程，有无数组解，我们可以求出最小正整数解。这个解数值较大，即使通过Python求最小正整数解也不容易。（三）设计思路
按照编程解方程的惯性思路，方程的解可以使用枚举法去求。结果当Python程序运行后却没有输出结果（所有程序后面给出）。分析原因发现是因为解的数值过大，必须寻求更好的求解方法。（四）程序设计过程1.枚举法
最普通的思路，不需要过多考虑，用枚举法一个个去测试（图1）。
测试1万个数的时间复杂度是10的12次方，需要运行30多个小时。通过搜索已知最小正整数解的值很大，枚举法获得结果的时间过长，必须去寻找更简捷的方法。2.对已知答案验证出错
（1）验证解出错
在网上搜索到了群牛问题的一组正整数解，代入方程直接验证，运行结果后面4个全部为“False”（图2）。
False表示解并不符合原題目的这项条件（图3）。
（2）验证另一组带n的解也出错
搜索到的另一组解是带n的，代入方程验证结果更奇怪（图4）。
当n=1时，有两个“False”（图5）。
当n=5时，有1个“False”（图6）。
为什么我把搜到的答案拿来验证都没法通过，问题出在哪里呢？为什么不同的解验算的“False”数目还不一样？
在分析这些问题产生的原因过程中，我发现了一个库函数Sympy，它可以帮我解决问题！3.SymPy库函数
（1）SymPy库简介
SymPy库函数是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。SymPy支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。
SymPy的安装和使用这里不做介绍，我只分析它求解方程的方法SymPy.solve（）。Solve（）是一个数学术语，主要是用来求解代数方程（多项式方程）的符号解析解。
（2）方程求解：先看个简单例子（图7）。运行就可以直接求出方程的解{x： -1， y： 4}，感觉到Python的强大了吗？
（3） 群牛问题求解方程
根据题目设8个未知数，代入7个方程（图8）。
运行结果（图9）
咦？怎么结果不是整数？原来是方程式中出现了除法运算，在Python中除法运算结果都是浮点数，而计算（1/2+1/3）、（1/3+1/4）导致运算结果与实际结果相去甚远。用通分去掉分母，得到下列程序（图10）。
运行结果。程序运行的结果表示出8个未知数间的关系，由于是7个方程8个未知数，所以这是一个齐次不定方程，有无数组解（图11）。
经过分析，我们发现所有的分母都是“604357”的倍数。且牛的数目一定都是整数，所以s一定是604357*9的倍数，令s=5439213，可以求出最小正整数解。
白公牛数： 10366482
黑公牛数： 7460514
花公牛数： 7358060
棕公牛数： 4149387
白母牛数： 7206360
黑母牛数： 4893246
花母牛数： 3515820
棕母牛数： 54392134.验证
將我们计算出来的结果代入原方程，验证是否正确，下面来验证一下（图12）。
运行结果还是有“False”！仔细分析问题产生的原因和解方程过程中出问题的原因相同，都是因为Python中分数计算结果是用浮点数保存的，会产生误差导致验证失败。将浮点运算改为除法运算，不让运算出现小数，式子虽然麻烦，但验证结果全部是True（图13）。
5.结论通过对“群牛问题”结果的验证，我们已经知道当在Python中遇到“1/3”这样的分数，由于浮点小数的精度问题会导致计算结果出现偏差，要提高数值精度，就必须避免“1/3”这样的运算。（五）改进与心得
通过分析计算，我们可以得到下列关系式：
gb=10366482*n
ge=7460514*n
ga=7358060*n
gz=4149387*n
mb=7206360*n
me=4893246*n
ma=3515820*n
mz=5439213*n
于是修改验证代码第2行为n=int（input（“输入正整数：”））我们就可以得到求解通式，n=1时为最小正整数解。
另外还可以将后面7个算式去掉分母，变成整式来验证。
本文的分析过程，就是我研究这个问题的真实过程，发现问题直到最后求解并得到验证，前后花了一个多月的时间。在研究过程中，也曾想放弃，后来参考了一些资料，并不断产生新思路，不断发现新方法，最终解决问题，我想这就是学习提高的一个过程吧。
我在学习Python的过程中，有三点感受：抄、改、创。
抄：就是开始学习的时候，照抄照搬，先理解基本知识。
改：当理解的深度提高后，就想把原来的程序做一下修改，变成自己想要的效果。
创：就是在前两个基础上，可以自己创造出新的程序。
一点心得，有不妥之处，请不吝赐教！
