孟得新
摘 要：本文主要研究的是Alice-Bob系统建模过程中提炼出来关于矩阵运算的问题，即如何求解M和x0，使得M2=I且Mx0=-x0。对于空间变量x'和x满足（平移的）对称变换的情况，我们给出了计算M和x0的详细过程。本文的计算过程体现了线性代数中分块矩阵和相似矩阵等运算技巧在数学建模过程中起到的重要作用，说明线性代数和数学建模相辅相成，互相促进。
关键词：Alice-Bob系统 矩阵运算 数学建模
中图分类号：TP319 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）11（a）-0-03
Absrtact：Under investigated in this paper is the problem of matrix operation originated from the modeling process of Alice-Bob physical system， that is， how to solve M and x0 such that M2=I and Mx0=-x0. For the case that x' and x satisfy （shifted） parity transformation， we give the detailed process of calculating M and x0. The computational process in this paper embodies the important tole of block matrix and similar matrix in linear algebra in the process of mathematical modeling. It shows that linear algebra and mathematical modeling complement and promote each other.
Key Words：Alice-Bob physical system； Matrix operation； Mathematical modeling
人類近现代自然科学的发展史，可以认为是一部围绕数学建模的发展史。从开普勒的行星运动三大定律、牛顿的万有引力定律，到麦克斯韦的电磁理论、爱因斯坦的相对论理论，再到杨振宁和米尔斯的规范场理论，数学物理学家们一直致力于用新的理论和方法来描述世界，而这些新的理论都是用数学语言或者说是数学公式来描述的。这就是我们常说的数学建模，也即是应用数学方法来描述一种过程，解释一种现象，探索一种规律，优化一种设计，等等。数学是各门科学的基础，不仅在自然科学、技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，得到有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础，因此解决各个学科问题的第一步，往往离不开数学建模[1-2]。本文将选取名为Alice-Bob（AB）物理系统的建模过程，举例说明矩阵运算在数学建模过程中的具体应用应用[3-4]。本文的第二部分介绍从两地物理系统的建模过程中提炼出的数学问题，第三部分就对称变换和平移的对称变换两种情况求解该问题，第四部分是本文的结论。
1 两地物理系统与数学问题提炼
一维物理模型通常建立在一个时间地点（x，t）。但是，不同的物理问题可能发生在有关联的两个地点，例如1997年的EI Nino事件引起了1998年特大洪水，例如从2007年夏天北冰洋的冰减少，到2008年中国南方有很强的冻雨、很强烈的冰雪灾害，这两件事是有关联的，而且发生在不同的时间、不同的地点，如注明的蝴蝶效应等[3]。不同时间不同地点的事物都有关联，专家学者经过观察，建立模型去描述这些现象。从数学上讲，当Alice的状态A（x，t）已知时，Bob的状态B（x'，t'）可以由一个合适的变换得到，即有B（x'，t'）=fA（x，t）。
这里f是一个算子，（x'，t'）和（x，t）不同。由A（x，t）和B（x'，t'）的等价性可知x'=（x'i，i=1，2，…，n）与x=（xi，i=1，2，…，n）的连接公式为x'=fxx=f -1x，且f和f -1形式完全相同[4]，因此有 f2=1。
对于x'和x之间具体的变换，如何求得上式的解呢？这就是我们要解决的问题。
2 问题求解
在论文文献[3]和[4]中，楼森岳教授给出了计算结果，但未给出计算过程。作为线性代数技巧在数学建模中的应用案例，我们给出具体的计算过程如下。
我们考虑两种简单的情况：
如果x'和x的变换是对称变换，即x'=-x，再设f=Mn×n，M是n阶方矩，问题就转换成如何求解一个n阶矩阵M，使得M2=I，I是n阶单位阵。
如果x'和x的变换是平移的对称变换，即x'=-x+x0，x0是平移距离，再设f=Mn×n，M是n阶方矩，问题就转换成如何求解一个n阶矩阵M，使得M2=I且Mx0=-x0，I是n阶单位阵。
由于x0=0时，第二种情况将退化到第一种情况，因此我们只讨论更一般的第二种情况。
3 结语
本文主要研究的是在两地物理（Alice-Bob）系统建模过程中提炼出来关于矩阵运算的问题，即如何求解一个M和x0，使得M2=I且Mx0=-x0。对于x'和x满足（平移的）对称变换的情况，我们给出了计算M和x0的详细过程，这些结果与文献[3]和[4]中的结果相同。随着科技的飞跃发展，不论是线性代数，还是其他数学分支，都在不断吸收其他领域的新成果，同时它们在各个领域中的应用也是越来越广泛。
参考文献
[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2005（1）：9-11.
[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.
[3]LouSY，HuangFei.Alice-BobPhysics：CoherentSolutionsofNonlocalKdVSystems[J].ScientificReports，2017，7（1）：869.
[4]LouSY.Alice-Bobsystems，Ps-Td-Cprinciplesandmulti-solitonsolutions[M].Eprint arXiv，2016.
