徐璐
[摘要]小学教材中的数学概念通常都是狭义范围内的，限制条件很多，外延很窄，到了中学后，同样的概念内涵不断拓展，外延越来越宽，许多原先被排除在外的条件又重新纳入概念之中。因此，在小学阶段，教师为了加深学生对原始概念的精准理解，提出一些迷惑性的问题也无可厚非，但一定要适可而止，否则就会陷入超纲、超范围的泥沼。
[关键词]剖析;平面;平行;几何体;相交
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）32-0036-02
在教学了平行线的概念后，为了检测学生掌握得是否扎实，在课后巩固练习题中，教师结合长方体设计了图1，让学生判断图中a、b两条直线平行与否。显而易见，这种与空间立体图形结合的题型，属于同体异面的两条直线的空间位置关系的判定，有别于学生已知的同一平面中两条直线的位置关系。不难看出，编创这道涉及立体几何图形的题目有着特殊的目的：加入干扰项，让学生通过辨析，加深对平面上平行线概念的理解;锻炼学生的空间想象能力，使之初步建立空间观念。学生在独立判断后，普遍认为图1中的两条直线并不平行，理由是直线a、b分处于两个不同的平面上。
面对这样的回答，教师一时拿不出确凿的证据来反驳学生的结论，没有充足的理由来证伪学生的结论，于是只好草率地默认了学生的判断。
一、剖析“同一个平面”的深意
有教师这样分析：本题的症结在于要判定两条直线不在同一平面上，属于异面直线，根据平行线严格的学术定义（在同一个平面上不相交的两条直线叫作平行线），这个概念里有一个大前提——在同一个平面内，也就是说，在判断两条直线平行与否前，先要获得评判资格，那就是设法把直线a、b置于同一个平面上。基于这一认识，想到将长方体沿着棱边剪开，展开成平面图（如图2）的办法。但仔细琢磨后发现，这样的做法于事无补，反而带来新的问题。本题判断的要诀在于对概念中的前提条件“在同一个平面上”的领悟：此处提及的“同一个平面”只能是一个已知已定的二维几何平面，能否是一个尚未成型的平面，或是一个有待加工合成的平面？分属两个不同平面的两条直线能否在另一个尚未明确的第三个平面共处？
学生判断图1中两条直线“不在同一平面上”，一方面显露出学生的思维具有具体、形象与直观的特性;另一方面暴露出学生对“同一平面”这一表述的曲解。通过对这道题的钻研，可以令学生醒悟：同体异面的两条直线并非一定相交，也存在平行的可能，因为它们可以共处于第三个平面，当然这个“第三个平面”未必是已经标明的，也不一定是视觉可感的，而是需要我们去推理想象的，是在理论上客观存在的。而后者才是促进教师反思改进教案的主要推动力。
从表面看，将长方体（如图1）展开成平面图（如图2）后，似乎能够很直观地揭示出a、b两条直线同面，但图2中的两条直线已不再是图1中的两条直线，因为对长方体的展开已使得原有两条直线的位置关系发生了变化，它们的空间位置发生了整体性位移。确切地说，其中一条直线已发生“身份变化”，不再是“它本身”。因此，这样的做法是荒唐的。
我将例题稍作修改：试着判断图3中的直线c和直线d平行与否。
延续图2的方法，将图3展开成平面图（如图4），可以直观看出，图4中的两条直线相互平行。但据此推测图3中的两条直线互相平行，显然站不住脚。实际上，图3中的两条直线是异面直线，既不存在相交的位置关系，也不存在平行的位置关系。
那么，是否可以借助动画演示，将立体图形抽离，只留下c、d两条直线呢？这样虽然三维空间上这两条直线的空间位置关系没有发生改变，但实际上当两条线的背景图撤去后，它们的相对位置关系也随之改变了。如此处理，判断的结果也是错误的。
二、利用实物图，降低理解难度
针对学生在解决图1所属问题时出现的状况，教师可指引学生观察实物来辅助理解，建立直观表象，如黑板的对边、篮球架的支架等。通过观察、触碰等方法研判它们的位置关系，借此让学生去捕捉、猜想那个看不见摸不着、虚无缥缈，但确实存在的“同一个平面”，从而使学生清醒意识到平行线概念里的“同一个平面”可以是直观画出的，也可以是需要推理证實存在的。
根据学生的认知特点，不妨在图1之前出示图5，以降低图1所属问题的起步高度。
学生通过观察物体，可以准确判断出图5中线段e和线段厂是平行关系。至于两条线段“在同一平面上”的裁定，可充分调动学生的想象力，或借助动画演示（如图6）来完成。有了图6引路，图1中的问题便可迎刃而解。
图1所属问题的出现，虽明显超纲，但对于学生理解概念、拓展思路、提升空间运动想象力等都起到积极的促进作用。
三、对问题提法本身的反思
“同体异面的两条直线平行吗？”这个问题拿来考查小学生，是否超纲姑且不论，这个问题的提法本身就很值得商榷。
图1中的立体图形是长方体，由6个长方形围成，这6个面都不是没有边界的平面，而是封闭的平面图形，既然是封闭的，就存在边界。而直线是无限延长的，故不在同一面上的a、b两条直线，严格来讲其实只能算作线段。
因此，严密的表述应该是“同体异面的两条线段平行吗？”如此一来，问题的难度直线飙升，即便是高中生来回答，尚需作辅助线，再根据一些几何定理小心求证，方可能证明。因此，小学生能看懂题目已经是万幸。不过，这里无法随心所欲地运用“在同一平面上不相交的两条直线叫作平行线”这个定义，因为在同一几何体的同一平面上的两条线段不相交的现象俯拾即是。如图7所示，a和b在同一平面上，既不相交，也不平行。异面呢？异面的两条线段，可以平行也可以不平行，没有一定。总之，这样提问题，只会越绕越乱，最终将教师也绕进去。
问题出在哪里？主要原因在于，这类问题涉及的情形太复杂，概念繁多，隐含的条件也盘根错节，不宜让小学生来处理。那么，是不是小学生就不能接触这类问题呢？能！但是有个前提，就是要坚决摒弃抽象的几何图形，以房屋、空调、电视机、大厦等实物取而代之，不同楼栋的单元水电埋设，吊顶、壁柜与天花板相连处，都有同体异面线段平行的现象，让学生观察这些日常现象，对学生今后的学习是大有裨益的。
以上就这道有关平行线判断的几何题进行的探究，希望能为广大教师正确全面地理解平行线的概念、教学设计的问诊把脉提供一些借鉴。
（责编 李琪琦）
