鲍善军
[摘要]数学习题是数学模型的重要表现形式。教师可以开展一题一课，通过整合路径、关联对比、拓展延伸三个层次的习题教学，指向学生高阶思维能力培养，促进学生数学学习的深入和思维的通透度的提升。
[关键词]一题一课;高阶思维;教学策略
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）17-0032-03
一题一课是指教师通过对一个主题或一组习题的深入研究，在课堂上科学、合理、有序地组织学生开展相关的数学探究活动，在完成“一题”的同时，促进知识的相互关联，达到“学一题、透一点、通一类、达一片”的教学目标。系统地从纵向三个层次、横向六个方面发展学生的数学思维水平，即通过“小题大做”、角度转换，促使学生的数学学习从单点结构水平向多点结构水平发展;通过一题多解、化隐为显，促使学生的数学学习从多点结构水平向关联结构水平发展;横向拓宽、纵向深入，促使学生的数学学习从关联结构水平向抽象拓展水平发展（如图1）。开展一课一练，使学生主动参与到学习过程中来，逐步发展高阶思维和核心素养。
一、路径整合：思维水平由“单点结构”衍生“多点结构”
通过深度沟通寻找到联系各种思路的理想方式，运用直观去认识事物之间的共同属性和联系，由理解的单点结构水平转向多点结构水平，使学生的数学思考向更深处蔓延。
1.“小题大做”，自主建构
对于有些问题，教师可充分调动学生思维的积极性，放手让学生自主探究，探寻多种解决问题的思路，教师只需将这些解题思路进行整合，就能帮助学生建构知识的应用模式。
[一题]如图2所示，市政府准备在街心花园建一个花圃，这个花圃占地多少平方米？
[一课]组合图形的面积。
教师让学生自主探究解决问题的方法，学生通过独立思考一小组讨论一交流汇报，确定了两种解决问题的思路：可以将图形分割成两个小长方形或两个梯形（如图3），也可以将图形补全为一个大长方形（如图4）。
分割：
学生总结出求组合图形的方法主要有两种——分割和补全，最后教师渗透转化思想：“不管是分割还是补全，都是将不规则图形转化成规则图形。”
2.角度转换，发散思维
当学生的思维遇到障碍而停滞时，不妨引导学生换个角度分析，让思维向多角度发散，从而找到多种解决问题的思路。
[一题]由于粗心大意，小马虎把30x（A+3）错算成30x△+3。请你帮忙算一算，他得到的结果与正确结果相差多少？
[一课]符号的运算。
数学符号的抽象性与学生思维的形象性是一对非常突出的矛盾。但要解答这道题并不难，关键是让学生理解造成两个算式的结果出现差异的原因。解这道题时，很多学生会先用一个具体的数字替代“△”，分别算出两个算式的结果，再计算出这两个结果的差值。教师可以先肯定学生的解答过程，再引导学生从运算定律的角度解读两个算式的意义，从而理解两个算式的差异，求出两者相差多少。从代人运算和意义两种路径理解两个算式的差异，从而比较它们的大小，让学生主动转换角度来思考和解决问题，借助多种感官进行知识的建构，达到对算式意义的数学理解。
二、关联沟通：思维水平由“多点结构”走向“关联结构”
当学生的思维达到多点结构水平时，教师可以借助知识方法之间的联系帮助学生整合思路，促进学生内化方法，深挖知识的本源，把解题的规律模型化、发散的思路一体化，让学生从对知识的理解深入到对知识的联通，这样学生的思维就会从多点结构水平逐步迈向关联结构水平，大大提升学生解决问题的能力。
1.一题多解，模型建构
通过对问题的开放探究，有助于学生发现并理解解决问题的多种思路，再将这些解决问题的思路或方法进行沟通、对比，找出其关联所在。
[一题]如图5所示，计算立体图形的体积。
[一课]柱体的体积。
如图6所示，教师通过展示不同的解题方法，聚焦学生的思维。将立体图形体积的3种计算方法进行沟通联系，发现这些方法之间的关联点，并从中抽象出解决问题的数学模V柱=SH，使学生对柱体有更深入的了解，并能将该模型运用于其他柱体体积的计算。将解题规律模型化，突出柱体体积算法和算理之间的关联，加深了学生对柱体概念本质的理解，强化了学生对柱体体积计算方法的记忆，更重要的是使学生形成了特有的柱体体积计算方法的知识体系。
2.化隐为显，多元归一
有些问题的解决方法比较抽象，学生难以厘清其中的思路。这时，教师需要将这些方法中的隐含意义直观地呈现，使学生领悟解题的思想方法，最终实现多种解题方法的统一。
[一题]笼子里有若干只鸡和兔，一共有8个头、22条腿，问鸡和兔各有几只？
[一课]鸡兔同笼。
鸡兔同笼问题的解题步骤较复杂，让学生理解解题原理很重要。刚接触这类题型时，学生很容易想到用列表法解题，此时教师应引导学生继续探究，挖掘新方法——画图法，并帮助学生建立画图法与列表法之间的联系，即将列表的过程与画图的步骤一一对应，再从画图的步骤中抽象出每个步骤的算式，最终引出假设法。从列表法一画图法一假设法（如图7），步步深入，学生体会到它们所表示的含义是一样的，从而实现解题方法的融合与统一。
画图是对列表的直观呈现，而假设是对画图的概括抽象。画图法是从列表法走向假设法的桥梁，借助3种方法的探究与沟通，促进学生对解题方法的深度思考和理解，最终将这些方法融会贯通，使每个解题步骤都能在学生的脑海中直观成像，实现思维的可视化。
三、拓展延伸：思维水平由“关联结构”跃至“抽象拓展”
当学生的思维进入关联结构水平时，可以尝试让学生在原有知识的基础上自主迁移，联想其他同属性的知识，这样学生思维的路徑会随着抽丝剥茧的分析和探索，一步步呈现出完整的知识结构。
1.横向拓宽，全面探索
横向拓宽就是对问题在同一水平层面上进行开发与设计，引导学生在原有知识的基础上对同一问题从不同的角度进行开放式的思考和延伸，将其本质属性迁移到其他同类型的知识内容上。
[一题]长方形的长和宽分别是3cm和1cm，将它按3：1放大，求放大后与放大前长方形的面积之比。
[一课]长方形面积的变化。
由于缺乏对边长和面积关系的认知，学生理所当然地认为面积之比就是边长之比。基于此，教师可在五年级就提前落实面积与边长关系的教学，并将长方形的这种属性特征迁移到其他同类平面图形。教师先让学生通过计算、观察、探索、验证和概括得出结论：“面积扩大的倍数就是长和宽扩大倍数的乘积。”接着，教师继续引导：“如果沿着这个方向继续研究，你还想研究什么？”学生展开联想：“三角形、梯形、平行四边形、正方形等平面图形是否也有同样的規律呢？”最后利用微课验证（如图8）。
教师顺着长方形的面积变化帮助学生将思维延伸到其他平面图形中，概括出其他平面图形的面积变化规律，将研究的层次提升到另一个高度，拓宽了学生的思维，建构了平面图形的知识结构。
2.纵向深入，研究彻底
纵向深入就是根据问题中涉及的知识点，沿着问题情境背后的线索，基于全体学生设计开放式的探究活动，目的是将同一个（类）问题深入挖掘，研究彻底。
[一题]图9中，4个图形的面积都是36dm2。分别用这些图形卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
[一课]圆柱侧面积与体积的关系。
教师以此问题作为知识基点，进行圆柱侧面积和体积的复习，再次引导学生经历猜想、计算、观察、探索等过程，最终发现在侧面积相等的情况下，圆柱体积的变化规律并理解其原理。
这是一个基于实践研究的能力发展和经验领悟过程，其目标指向问题解决而非知识技能形成。在此经验之上，可以进一步让学生解决：“如果侧面积不变，还有卷成的圆柱体积更大的长方形吗？”
这样的探究活动，将圆柱侧面积和体积相关知识的联系完全打通，通过对卷成圆柱体积更大的长方形的探寻与验证，使学生的认知从特殊走向一般，学生对数学知识之间的内在关联和本质属性有了更深的理解与领悟，并内化为自身的能力和素养。
综上所述，通过一题一课，教师真正发挥习题的最大效益，同时减轻了学生的课业负担，真正落实了减负增质的目标。
[本文系2019年浙江省教研课题“一题一课：高阶思维导向的教学设计与实践”阶段性研究成果。]
（责编：李琪琦）
