陈卓英
[摘要]数学练习题是学生学习数学知识、体验数学价值的重要载体，而教材中的每一道习题的编排都蕴含着编者深思熟虑、寓意深刻的意图。在准确把握教材编写意图的基础上，教师应该合理取舍、补充或调整教材内容，以便揭示数学本质，建构数学模型，从而有效达成教学目标。
[关键词]习题教学;认知本原;数阵模型
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）02-0024-02
【人教版教材一年级下册第63页中的思考题】
对于该题，大部分学生通过尝试都能正确解答，但笔者认为教学不应仅仅停留在学生能够正确解答，而应触发学生的认知本原，建构这一类题的数学模型。为此，笔者展开了如下教学。
【教学描述】
一、瞻前——欲识庐山真面目
人教版教材一年级下册第63页中的思考题呈现的是数阵图，是小学奥数中比较重要的一个知识点，把它放在一年级对学生来说其实有点难。细细分析后发现，编者只是希望通过一些简单的填数字游戏，巩固学生对整十数连加的应用。不同的学生会有不同的填法，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，可以培养他们的思维能力，学有余力的学生还能初步感知到什么是数阵。教师可以引导学生去找寻数阵的简单规律以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解题的钥匙，并能把这种方法灵活应用到实际中去。
在教此题之前，教师要对学生的学习基点有个完整的了解。教材在一年级上册第64页的练习十三中还呈现了这样一道思考题（如图2）。不难发现，图1和图2这两道思考题有着诸多联系。学生若是理解了图2思考题中的算理，定能为解答图1的问题带来帮助。
二、潜心——两山排闼送“清”来
1.初识数阵，学会配对
师（出示图2）：把0?9这十个数填入□里，使等式成立，实际上是在分组，每两个一组，配对填数，保证每对的和相等。
师：请你着把这十个数分成5组，要求每组的和相等。
（学生尝试）
生1：0+9=1+8=2+7=3+6=4+5。
师：你发现了什么？
生1：这些和都等于9，好像在做9的组成。
生2：最小的和最大的为一组，然后从两头向中间凑成一对一对的，刚好和都相等。
师：你们的发现都很棒！学会配对的方法对我们接下来的学习很有帮助。
师：一些数规则地排成一定的图案，如十字形、三角形、人字形等，这样的数字阵叫作数阵图。（出示图3）
师：请仔细观察，数阵图有什么特点？
生3：数阵图中每行每列的和都相等。
生4：数阵图中有个数要重复用两遍。
师：你们都有双善于发现的眼睛。这个重复用的数，我们叫它“中心数”或“重叠数”，它在数阵中起着举足轻重的作用。它既在横行上，又在竖列中，运算时要算两遍。
师：刚才是给10个数，正好配成5组。如果给你10、20、30、40、50这五个数呢？（出示图1）你该如何配对？
生5：可以配成2对，10+50=20+40，还多一个30。
师：那这个30刚好放哪里？
生6：中心数。
师（教师把“30”板书在中间的圆内，如图4）：你们觉得配好对的这些数填到哪个圆内能符合题意呢？试着填填看。
（学生操作后反馈;如图5）
师：填对了吗？我们一起来验证。
生7：10+50+30=90，20+40+30=90，90=90，正确。
师：填的时候有什么窍门？
生8：配成一对的两个数要放在同一条直线的两端。
师：说得很好。还有别的配对方法吗？
生9：我的配对方法是10+40=20+30，还多一个50。
（学生操作后反馈;如图6）
师：还有吗？（展示最后一组情况并验证，如图7）
2.深入数阵，提炼方法
师：刚才大家通过独立思考、合作交流，得出了三种符合题意的结果。请思考得出这三种结果的解题过程有什么共同点？
生10：先定“中心数”，再配对，然后填入图中，最后验证结果对不对。
师：既然这个“中心数”很重要，那找一找，我们选的“中心数”都在这串数的哪个位置呢？
生11：可以选择这串数中最中间的那个数作为“中心数”，也可以用最小数或最大数作为“中心数”。
我们可以用几句歌谣来总结填图的方法：
数阵图，有技巧。
中心数，是关键。
挑头去尾取中间，
首尾成双面对面。
三、顾后——唯有身在此山中
通过以上教学，学生对简单的数阵图的模型已经有了基本的建构，基础模型至关重要，但模型的变式也必不可少。于是，笔者在课后安排学生独立练习数阵图，题目难度虽略有提升，但学生掌握得还不错。
题1.把1、2、3、4、5、7分别填入〇里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13。
在这六个数中，有两个数是公共的，那么剩下的四个数两两相加应该相等。观察1、2、3、4、5、7，1是公共数，而2+7和4+5都等于9，因此剩下的3也应该是公共数，2和7、4和5应该分别填在这两个圆的左边和右边，经检验，每个大椭圆上的四个数之和等于13。
題2.把1、2、3、4、5、6、7这七个数分别填入〇里，使每条直线上的三个数相加的和都为12。
观察发现，在1?7这七个数中，除去中间的“中心数”，剩下的六个数两两相加应该相等，经验算，当“中心数”是4时，1+7=2+6=3+5=8，8+4=12。
“中心数”由一个变成两个，配对由两组变为三组，但万变不离其宗，“中心数”的确定是关键，只要确定了“中心数”填几，别的空格就简单了。充分的变式拓展，使学生在练习中深化理解了数阵图。
【实践反思】
数阵图类的问题可以培养学生思维的灵活性。对于一年级的学生来说，旨在数学学习中发展数感、感受几何直观，能通过观察、尝试及验证，进行适当推理，并有序地思考。回顾整个教学过程，对于这道思考题的处理，笔者力求做到：
一、触发本原，新旧沟通
学生遇到题目无从下手时，教师应从学生已有的经验出发。比如简单的数阵图里隐含着加减运算、整十数连加、数字配对等很多知识点，沟通新旧知识的内在联系很重要，教师就要找准知识间的联结点。笔者以教材的一道思考题作为切入口，引出合理配对在数阵中的作用，给学生解决新问题提供了有力的支撑。
二、分解难点，拾级而上
分解难点，让学生有据可循，从而降低认知难度。从双数配对到单数配对，从而引出“多出的那一个叫‘中心数或‘重叠数”，确定了“中心数”，数阵图的问题就迎刃而解了。最后总结的歌谣符合低段学生的学习特点，能够培养学生学习的兴趣。
欲识庐山真面目，惟有身在此山中。只有瞻前顾后设计教学，才能成功建构数阵模型。
