王友林
【摘 要】 数学教学的目标是培养学生独立思考、分析和解决问题的能力，培养学生的创新意识和创造性思维方式。教学不能局限于一个狭窄领域，重要的是让学生学会应用课本知识和思考问题的方法，依靠课本例习题“窥一斑至全貌”，“举一例能反三”。
【关键词】 数学；创造思维；习题设计
原题：人教版初中数学八年级教材《习题12.3》拓广探索中的一道题（第52面第7题）
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
求证：AE平分∠DAB.
背景分析：本节教学内容是在学生系统学习了三角形全等的性质和判定方法后，应用三角形全等的知识来探究角平分线的性质和判定.
而这道习题作用正是为了强化学生掌握角平分线的性质和判定方法，并在一定的问题情景（例如：题中有角的平分线上的点到某一边的距离的表述或图形信息）中综合应用.
改编的基点：因为本节内容是全章《全等三角形》知识结构中的最后一个环节，既是本章的重点三角形全等的性质和判定方法的应用，也是该内容的延伸与拓展.用好教材但不拘泥于教材，在了解了本章知识的全貌后，将指向比较单一的习题作结构上的改编，一方面让学生对知识的理解更全面，另一方面开阔学生的思維，积累对某一类问题的解题经验.
改编：原题中“∠B=∠C=90°”的条件一是为了得到“DC∥AB”，二是为了突出“点到边的距离”. 把此条件弱化为“DC∥AB”的基础上作下列改编：
如图：
①DC∥AB，
②E是BC的中点，
③DE平分∠ADC，
④AE平分∠DAB，
⑤AE⊥DE，
⑥DC+AB=AD.
从这6个关系式中任选3个关系式作为已知条件，推出剩下的3个关系式作为结论，那么正确的结论有哪些？不正确的结论是哪些？
一、基于学生组合思维的设计
学生从这6个关系式中任取3个关系式，学生大都会选几种情况，但往往不全面，不完备，不完整，在选取时缺少系统性和规律性，我们采用穷尽到底的方法，即按照一定的规律把某一种可能全部列举出来，再按照一定的方向把剩下的可能都一一组合出来.比如：
①②③，①②④，①②⑤，①②⑥，①③④，①③⑤，①③⑥……，
②③④，②③⑤，②③⑥……④⑤⑥.通过这样的训练，可以培养学生思维的严密性和完备性. 学生训练也是高效的.
二、基于学生构造思维的设计
我们不妨证明①②③？陴④⑤⑥这个数学命题：
条件：①DC∥AB，
②E是BC的中点，
③DE平分∠ADC.
结论：④AE平分∠DAB，
⑤AE⊥DE，
⑥DC+AB=AD.
分析方法：综合法. 读条件，得结论，从问题入手.
分析（1）：从问题开始，要证明AE平分∠DAB？陴∠DAE=∠BAE？陴证明所在的两个三角形全等？陴所在两个三角形不全等？陴构造全等三角形？陴证明角相等.
分析（2）：要证DC+AB=AD？陴证明不在同一条直线上的两条线段和等于第三条线段？陴转移到同一条直线上？陴构造全等三角形或等腰三角形？陴证明边相等.
证明：尝试截长法：
如图，在AD上截取DF=DC，连接EF
则在△ECD与△EFD中
∵DF=DC，∠FDE=∠CDE，DC为共同边
∴△ECD≌△EFD（SAS）
∴∠C=∠EFD，EC=EF（全等△对应角相等，对应边相等）
∵E为BC的中点
∴CE=BE，又EC=EF
∴EF=BE ①
∵DC∥AB
∴∠C+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠DFE+∠AFE=180°
∴∠B=∠AFE（等角的补角相等）②
又∵AE为共同边③
然而由①②③无法证明△AEF和△AEB全等的，故用截长法证明是失败的.
证明：尝试补短法：
如图，延长DE交AB的延长线于F，
∵DC∥AB
∴∠C=∠EBF，∠CDE=∠F
∵E为BC的中点
∴CE=BE，
在△DCE与△FBE中
∠C=EBF，∠CDE=∠F，CE=BE
∴△DCE≌△FBE（AAS）
∴DC=BF DE=EF（全等三角形对应边相等）
又∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
又∵∠F=∠CDE
∴∠ADE=∠F
∴AD=AF，即AD=AB+BF=AB+CD⑥
又∵DE=EF
∴AE⊥DE④
AE平分∠DAB⑤
（等腰三角形三线合一性质）.
反思：
（1）用截长法证明此题时，是以△ABE为模板构造与之全等的三角形是失败的，看似无效劳动，但我们在思考时，却是一种有效的选择，没有这个失败，就没有后续的校正思考.
（2）用补短法证明此题时，是以△DAE为模板构造与之全等的三角形是可行的，一方面说明选择哪一个三角形来构造全等三角形很重要，另一方面说明截长法和补短法是想通的.
（3）证两边或两角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，当证明的边或角所在的两个三角形不全等时，一般就要构造全等的三角形或等腰三角形来转化.
三、基于学生建模思维的设计
本题的条件和结论的不同组合形式共有20余种，但证明的主要思路还是截长补短法. 其作辅助线方法有（1）作平行线，（2）截取，（3）延长，（4）延长加倍等作法。其中只能用截长法证明但不能用补短法证明，如②③⑥？陴①④⑤；能用补短法证明但不能用截长法证明，如①②③？陴④⑤⑥；既能用截长法证明又能用补短法证明，如①③④？陴②⑤⑥；既不能用截长法证明又不能用补短法证明有5种，即①⑤⑥？陴②③④，②③④？陴①⑤⑥，②⑤⑥？陴①③④，③⑤⑥？陴①②④，④⑤⑥？陴①②③事实上在所有组合中只有这5种组合是假命题.
数学教学的目标是培养学生独立思考、分析和解决问题的能力，培养学生的创新意识和创造性思维方式.我们的教学不能局限于一个狭窄领域，理解课本固然重要，更重要的是让学生学会应用课本知识和思考问题的方法，依靠课本例习题“窥一斑至全貌”，“举一例能反三”.作为数学老师要善于领会和研究课本例习题，以课本题为纲，或改变命题的题设讨论结论的变化以否；或保持命题的题设不变讨论其他形式的结论成立以否；或交换命题的题设与结论讨论命题真伪等等，通过例习题的变式教学一方面促进学生对知识的更深入的理解，掌握解决一类问题基本套路；另一方面拓宽学生的思维，提升学生的能力.
【参考文献】
[1] 陈爱兰. 巧设“开放”式习题培养思维创造性——浅析小学数学开放题的教学设计[J]. 新课程（上旬），2017（6）.
[2] 崔杰. 创造性设计练习题，培养数学建模核心素养[J]. 新课程（中），2017（3）.
