张志刚
[摘 要]文章对一道三角最值问题进行多视角讨论，以引导学生深刻剖析题设条件，敏锐捕捉解题灵感，触发思维萌芽，多方位搭建解题思路，从而培育学生独立性、批判性、发散性等创造性思维品质.
[关键词]高考;模拟题;解法探索
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）17-0034-02
波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题.”罗增儒教授说：“解题是数学工作者数学活动的基本形式和主要内容，解题是数学工作者的一个存在目的，解题是数学工作者的一个兴奋中心.”解题的重要性不言而喻.下面笔者通过对一道三角最值问题的多视角讨论，引导学生深刻剖析题设条件，敏锐捕捉解题灵感，触发思维萌芽，多方位搭建解题思路，从而培育学生独立性、批判性、发散性等创造性思维品质，启发学生学会解题、善于解题，积累实战经验.
一、试题呈现
2019年河南安阳市一模试题：
[9sin2α+1cos2α]的最小值是（）.
A. 18 B. 16 C. 8 D. 6
二、解法探索
本题设计简洁清新，构思别具匠心，难度适中，解题角度宽广，富含数学思想，凝聚命题专家的智慧.解答时可充分挖掘问题与隐含条件的关系，既可转化为一般函数最值的常规解法，又可充分利用三角函数的性质（如有界性），灵活多变，耐人寻味.
视角1：常数代换
解法1：“1”的代换.挖掘隐含条件“[sin2α+cos2α=1]”，进行“1”的代换，再用基本不等式求得最值.
[9sin2α+1cos2α=9sin2α+1cos2αsin2α+cos2α][=9cos2αsin2α+sin2αcos2α+10 ][≥29cos2αsin2α?sin2αcos2α+10=16]，当[9cos2αsin2α=sin2αcos2α]即[α=±π3+kπk∈Z]时取等号.故选B.
解法2：三角函数的定义法.设[f（α）=9sin2α+1cos2α]，易求得[f（α）]的定义域是[αα≠kπ2， k∈Z].设[α]的终边与单位圆的交点是[P（x， y）（xy≠0）]，则[x2+y2=1].
[f（α）=9sin2α+1cos2α=9y2+1x2 ][=9y2+1x2x2+y2 ][=9x2y2+y2x2+10≥29x2y2 · y2x2+10=16]，当且仅当[9x2y2=y2x2]即[x=±12]，[y=±32]时取等号.
点评：追本溯源，回归三角函数的定义：将关于[sin α与cos α]的最值问题转化为实数[x]、[y]的最值问题，达到简化计算的目的.
解法3：直接代换.令[a=sin2α]，[b=cos2α]，则[a+b=1（a>0， b>0）]，
[9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+1b（a+b） ][=9ba+ab+10][ ≥29ba·ab+10=16]，当[9ba=ab]即[a=34]，[b=14]时取等号.
点评：上述3种解法均是利用二维形式的基本不等式求解，解题过程中一定要注意三个条件“一正”“二定”“三相等”是否同时成立，尤其是验证“=”能否成立，如果“=”不能成立，就不能用基本不等式求解，而需改用其他方法，如单调性法.
解法4：柯西不等式法.
[9sin2α+1cos2α=3sin α2+1cos α2sin2α+cos2α][≥3sin αsin α+1cos αcos α2=16]，
当[3sin αcos α=1cos αsin α]即[α=±π3+kπk∈Z] 时取等号.
视角2：变元代换
令[a=sin2α]，[b=cos2α]，则[a+b=1（a>0， b>0）]，
[9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+11-a=9-8aa（1-a）].
解法5：函数单调性法.令[t=9-8a]，由[a∈（0，1）]得[t∈（0，1）]，[設 f（t）=9sin2α+1cos2α=9-8aa（1-a）=64t-t2+10t-9] [=64-t+9t+10]，[f（t）]在（1，3）上递减，在（3，9）上递增，故[f（t）min=f（3）=16].
解法6：导数法.[设 f（a）=9sin2α+1cos2α=9-8aa（1-a）]，[a∈（0，1）]， [f′（a）=（-4a+3）（2a-3）a2（1-a）2]，[a∈（0，1）]，
当[a∈0，34]时，[ f′（t）<0]，[ f（t）]单调递减;
当[a∈34，1]时，[ f′（t）>0]，[ f（t）]单调递增;
[f（a）min=f34=16].
点评：解法5、解法6都是通过消元，将二元函数转化为[a]的单元函数，不同之处是：解法5是利用函数单调性求最值，解法6是借助导数判定单调性进而求得最值.
解法7：消元法.[9sin2α+1cos2α=9sin2α+11-sin2α=9-8sin2α-sin4α+sin2α]，令[t=9-8sin2α]，[t∈（0， 9）]，
[设 f（t）=9sin2α+1cos2α=9-8aa（1-a）=64 t-t2+10 t-9]，下同解法5.
解法8：消元法.[9sin2α+1cos2α=91-cos 2α2+11+cos 2α2=4（4cos 2α+5）1-cos22α]，令[t=4cos 2α+5]，由[cos 2α∈（-1，1）]得[t∈（1， 9）]，[设 f（t）=9sin2α+1cos2α=4t1-t-542=64t-t2+10t-9]，下同解法3.
点评：解法7、解法8都是直接从三角恒等变换入手，将解析式化为[sin α]或[cos 2α]的函数，没有进行“[a=sin2α]，[b=cos2α]”的代换，解法殊途同归，但运算量稍大，对学生计算能力和恒等变化有一定要求.同时在解法5、解法7、解法8中均遇到了“[一次二次]”型分式函数值域（最值）问题，处理方法均是对一次式实施换元.
视角3：判别式法
利用这种方法解题的关键是构造关于某个变量的二次方程，通过判别式大于等于零求得参数的最值.
解法9：判别式反解法.本题中由[sin2α∈（0，1）]得[9sin2α>9，1cos2α>1]，从而[9sin2α+1cos2α>10]，排除C、D项;
令[a=sin2α]，[b=cos2α]，则[a+b=1（a>0， b>0）]，
[9sin2α+1cos2α=9a+1b=9a+11-a=9-8aa（1-a）=m]，
则变形为关于[a]的方程[ma2-（m+8）a+9=0]，则该方程有解，当[m=0]时，[a=98?（0，1）]，不合题意.
当[m≠0]时，[Δ=-（m+8）2-4m×9≥0]，解得[m≤4]或[m≥16]，
又由上知[9sin2α+1cos2α>10]，故[m≥16]，即[9sin2α+1cos2α]的最小值是16，选B.
视角4：间接法
解法10：间接排除法.上同解法9排除C、D项;令[9sin2α+1cos2α=16]（※），即[9sin2α+11-sin2α=16]，解得[sin2α=34]，即[α=±π3+kπ（k∈Z）]时取等号.故方程（※）有解，故选B.
点评：解法9、解法10是间接法，首先利用弦函数的有界性排除部分选项，至于A、B选项的甄选可转为方程的根的问题.
三、教学反思
上述单调性、基本不等式、导数、判别式法、换元法等均为解决值域（最值）问题的常见解法.尤其是對于双变量最值问题，基本不等式是个强有力的工具.利用的难点在于充分利用定值条件，对式子进行恒等变形（如“1”的代换、拆分、重组、系数配凑等），使之可用基本不等式的形式.
反之，如果教师囿于狭隘的解题观，就题论题，过分强调“固定题型固定解法”，则容易导致学生思维定式，导致解答失败.
对于诸多高考真题和模拟题，教师可充分发挥其意境高深悠远、再生能力强、探究空间大的优势，在完成基础的解答后，指导学生立足于问题的本质，多角度地对题目进行“二次开发”，启迪学生运用开放性、创新性的思维方式应对问题情境，综合运用各种方法，提出新视角、新观点、新设想，创新性地解决生活实践或学习探索情境中的各种问题，为数学核心素养的落地提供支撑.
（责任编辑 黄春香）
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