巧妙构造图形证明常见公式

李富国

[摘 要]有些公式的证明比较简单，有些公式的证明有难度.如果换个方法，构造数学图形来证明，可以化繁为简.学习这种证明方法，可以开阔学生的视野.

[关键词]公式;构造;图形;证明

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）05-0003-02

从小学到中学，我们学过各种数学公式，有些公式记忆和推导起来比较容易，比如等差数列的通项公式，而有些公式的记忆和推导却比较困难，比如点到直线的距离公式.如果我们采用数形结合的方法，就可以比较直观地证明一些常见的数学公式.

先看一道小学竞赛题：

某日师父对他的徒弟说：我在你现在的这个年龄时，你只有2岁，等你到我的这个年龄时，我就41岁了，求师父与徒弟现在各多少岁.

这个问题可以利用一元一次方程来解，或者利用二元一次方程组来解，也可以不使用任何未知數，直接使用算术的方法来解，但是都没有下列图解法来得简单、巧妙.

如图1，AB是一条线段，C、D是徒弟与师父现在的年龄的位置，当师父移到C时，徒弟移到A（2岁）;当徒弟移至D时，师父移至B（41岁）.可见，C、D是AB的三等分点，三段距离均为13.因此，师父现在为41-13=28岁，徒弟现在的年龄是2+13=15岁.

这真是妙解啊！“图解”的方便在于能直观、快速地看出问题的突破点所在，从而巧妙地解决问题.下面笔者利用图解法来证明常见公式.

一、证明均值不等式

两正数的算术平均值大于或等于其几何平均值，且取“=”的充要条件是两数相等.

从以上常见公式的证明可以看出，通过构造合理的图形能够把一些较复杂的公式化繁为简，起到事半功倍的效果.

（责任编辑 黄桂坚）