对一道南京盐城一模试题的解法研究

李瑞华

[摘要]2020年南京盐城一模试题第14题是以函数、绝对值为背景设置的填空压轴题，融合函数、导数、绝对值于一体，涉及数形结合、等价转化等数学思想.运用定点法巧解该题，是基于解题扎实功底的，是解题经验的积累所致.

[关键词]定点;切线;数形结合

[中图分类号]G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（2020）35-0022-02

运算求解能力是数学核心素养之一.对于一道有难度的试题，如何在有限时间内，运用所学知识及所掌握的方法快速正确地求解，是师生共同面对的问题.笔者根据南京盐城一模试题第14题（填空压轴题）浅谈自己的一点想法.

一、题目呈现及分析

一模是高三四次大考中的重要一环.一模试题的难度适中，贴近高考.南京盐城一模试题第14题是填空题的最后一道题，是填空题的压轴题，有一定的难度.

记F（x）= x²+x+1一e^x（x≤1），则F'（x）=2x+ 1-e^x（x≤1），由F'（x）<0得x<0，由F'（x）>0得02 +x+1≥ex对任意x≤l恒成立.

[点评]解法二的求解过程分为三个大的逻辑段：（1）分母不为0对任意x≤1恒成立，求得實数a的大致范围并确定分母的正负号帮助去绝对值符号;（2）引入两个函数g（x）= x²—2ax+1（x≤1）和h（x）=e^x（x≤1），并观察出g（0）=h（0）=1，将条件转化为函数不等式g（x）≥h（x）对任意x≤1恒成立，进而转化为g（x）和h（x）在x=0处有相同的切线，即g'（0）=h'（0）;（3）用导数得到切线的斜率，求出a并检验.上述三个逻辑段中，最关键的是第二个逻辑段，定点的发现是解题的突破口，

解法一和解法二都是抓住函数的定点切入，解法一用极值点的性质，解法二用切线的斜率，解法二中的易错点是对不等式F'（x）<0的求解.如果不知道F'（x）=0有2个不等根，那么会造成F'（x）<0的解为0

本题是在泰勒展开式的基础上命题，按照泰勒展开式应有e^x≥0.5x²+x+1对任意x≥0恒成立，本题调整了二次项系数和定义域，并改变了不等号的方向，使得题目独立成为一个有难度的新题.

综上，通过观察式子的特征，找到函数恒过的定点，巧用定点，完成了试题的求解，教师在平时的教学，要善于总结，要引导学生进行反思与提炼，让学生认识到知识与方法的联系，帮助学生建立起对一类问题的整体认知，生成一类问题的基本解法，这样，才能让学生做到举一反三、触类旁通，才能培养和提升学生的运算求解能力.

（责任编辑 陈昕）