探寻函数中的隐性恒成立

冯君彦

[摘要]对恒成立问题的考查历来屡屡见于各类考试中，因此探寻函数中的隐性恒成立具有重要意义.结合几则典例，探寻函数中的隐性恒成立，以提高学生解决问题的能力.

[关键词]函数;隐性恒成立;有意义

[中图分类号]G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020）35-0035-02

对恒成立问题的考查历来屡屡见于各类考试中，尤以不等式或等式恒成立最多，其实，还有许多没有明显带有“恒成立”字眼的隐性问题，也可以挖掘出“恒成立”的内涵，用恒成立思想加以解决，特别是有关函数的问题中，如果我们细心观察与认真分析，就能感觉它的存在，本文举例说明，供大家参考，

一、函数在某区间上有意义

函数在某区间上有意义，该区间一定是函数的定义域的子区间，于是问题可转化为与函数定义域有关的某不等式在这个区间上恒成立，

点评：函数的三要素中，定义域不容忽视，没有它就无法研究函数的性质，我们通常考虑偶次根式的意义和分式的意义等，而它们的意义其实就是恒成立，比如在定义城内被开方数大于等于零恒成立，真数恒大于零恒成立，等等，

点评：对于函数的奇偶性，大家都不陌生，但往往热衰于如何判断，却忽略了它定义中隐含的恒成立关系，即对定义城内的任何变量x都有f（一x）=f（x）成立.基于这个特点，才让我们在逆向讨论函数的奇偶性时，有了“用武之地”，

三、函数单调性

函数单调性的定义，体现了自变量的大小与函数

点评：函数的最值问题一向是高中数学的难点，其解法多种多样.从某个角度看，我们也可以把它看成一种特殊的恒成立问题，就是函数值永远比某个常数大或者小，这种思想为我们解题开辟了另一條捷径.

五、函数的周期性

若常数T是函数f（x）的周期，则必有f（x+T）=f （x）恒成立，于是问题转化为等式恒成立问题，由此可求得参数的值，

点评：当函数的周期不容易直接求出或求某参数的值时，可采用通过定义转化为等式恒成立的方法，进而利用函数思想加以解决.

函数的性质是函数的“灵魂”，也是解决函数问题的“抓手”，从上文不难看出，无论是函数的定义域，还是函数的单调性、奇偶性还是周期性，都隐含着一个恒成立的不等式，或一个恒成立的等式，这是解决函数问题最好的“抓手”.

（责任编辑 陈昕）