聚焦中考概率的“交汇性”

韩祥安

[摘 要]探究概率与一次函数、二次函数、对称图形的交汇，以让学生了解不同类数学知识之间的联系，提高学生分析问题与解决问题的能力.

[关键词]聚焦;概率;中考;交汇

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）29-0001-02

近年中考中，概率的考查逐渐与其他知识结合.从若干个数中抽取两个或三个数，当这两个或三个数作为二次函数或一次函数解析式的系数时，概率就与函数结合了起来;当这两个或三个数作为一元二次方程的系数时，概率就与方程结合了起来;当抽取的对象是几何图形时，概率就与几何结合了起来.

一、概率与二次函数的交汇

现有若干个实数，任意抽取两个数，求它们的和、差或积或商，这是一般的概率问题.当这两个数作为二次函数图像的顶点坐标时，这样的二次函数有多少？这需要运用列表法或画树状图的方法找出所有可能的结果，就是二次函数的个数.那么这些二次函数中符合某一要求的函数，如图像交于y轴负半轴，或顶点在坐标轴上的概率是多少？此时要根据二次函数的性质找出符合题意的函数个数，再利用概率公式计算.

[例1]已知二次函数的表达式为[y=（x﹣m）2+n].它的顶点坐标是-2～2五个连续整数中的两个，

（1）如果顶点的横坐标为1，纵坐标是剩下四个数中的一个，由此形成四条抛物线，那么它们与y轴负半轴相交的概率是多少？

（2）从五个连续整数中取两个数作为抛物线的顶点，抛物线的顶点可能在横轴或纵轴上，这种情况的概率是多少？

评注：此题第一小题是一步完成的事件，直接使用概率公式解答;第二小题是两步完成的事件，使用了画树状图的方法找出所有可能的结果.此题同时考查了二次函数图像与y轴相交、顶点坐标等性质.

二、概率与一次函数的交汇

从若干个实数中任意抽取两个数，这两个数分别作为一次函数解析式的自变量系数和常数项时，概率与一次函数实现了交汇.任意抽取的结果有许多种，但是符合某一条件的结果也有几种，如函数值随自变量增大而增大的情况，或图像不经过某一象限的一次函数等，此时求发生概率，需要运用概率公式计算.

[例2]有三张纸片，它们的一面写着数字，分别是-1、1、2，然后将纸片的另一面向上.

（1）从刚才的纸片中任意拿一张，恰好是2的概率是多少？

（2）先随机抽取一张，以其正面数字作为k值，将卡片放回再随机抽一张，以其正面的数字作为b值，请你用恰当的方法表示所有可能的结果，并求出直线[y=kx+b]的图像不经过第四象限的概率.

（2）根据题意先列出图表，得出所有可能情況数和直线[y=kx+b]的图像不经过第四象限的情况数，然后根据概率公式求解.列表如下：

评注：此题第（2）题是放回事件，第一次抽取时抽取数字-1，第二次抽取时还有可能抽到-1，它区别于不放回事件，这是学生在解答时容易出错之处.一次函数图像不经过第四象限，可能有两种情况，一是经过第一、二、三象限，二是经过第一、三象限，即[k>0]，[b≥0].

三、概率与对称图形的交汇

在抽取的对象中，可以是数字、字母，也可以是几何图形，当抽取对象是对称图形时，概率就与对称图形实现了交汇.一组轴对称或中心对称的图形，任意抽取一个，可以求抽到中心对称图形的概率;或者任意抽取两个，可以求抽到的图形都是轴对称图形的概率，此时需要运用列表法或树状图法找出所有可能的结果，再用概率公式计算.

[例3]现有纸片5张（如图2），它们的一面绘有不同的图案，另一面没有图案，将这一面放在桌子上，

（1）纸片上的图案有轴对称的，也有中心对称的，如果任意拿一张，恰好是中心对称图形的概率是多少？

（2）如果从五张纸片中随意抽取两张，这两张的情况有若干种，那么这两张都是轴对称图形的概率是多少？

解析：（1）直接利用概率公式求解.

因为共有5张卡片，是中心对称图形的卡片有两张，是轴对称图形的卡片有3张，所以如果任意拿一张，恰好是中心对称图形的概率为2/5.

（2）画树状图列出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.画树状图如图3：

由树状图知，共有20种可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，所以这两张都是轴对称的概率是3/10.

评注：中心对称图形是指绕中心旋转180°后能与自身重合的图形.也就是说，图形的左边与右边，上边与下边，左上与右下，左下与右上的图形是一样的.轴对称图形是指沿对称轴对折后，对称轴两旁的部分能互相重合，图形是否是轴对称图形的关键是能否找到对称轴.

概率的交汇性问题还包括概率与一元二次方程，即将一组数字中的两个数作为一元二次方程的系数，求能使一元二次方程有实根的概率.当抽取的对象不是数字而是汉字时，概率与汉字也实现了交汇.此类问题一方面考查了概率的有关计算，另一方面也考查了相结合知识的掌握情况，加强了不同类数学知识之间的联系，提高了学生分析问题与解决问题的能力.

[   参   考   文   献   ]

[1]  李万国.概率交汇试题的归类解析[J].中学数学杂志，2016（1）：50-52.

[2]  马丽霞，李祎.品味概率与其他知识的交汇[J].中学数学研究，2012（10）：9-12.

[3]  曹经富.概率与其他数学知识的交汇[J].初中生之友，2011（33）：47-49.

（责任编辑 黄桂坚）