分段函数主题教学设计

陈烈

[摘 要]在高考中，以分段函数为载体考查函数的性质、函数的图像、不等式、导数等综合问题是一大热点问题.文章将高考分段函数常考题型归纳为四个模型，并针对四个模型提出分段函数主题教学设计策略.

[关键词]分段函数;主题教学;设计

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）26-0009-02

一、分段函数的考查要点

在高考中，分段函数的考查是热点问题，这与分段函数的特征有关.分段函数，就是对于自变量[x]的不同的取值范围有着不同的解析式的函数.它是一个函数，而不是几个函数;分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集.

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数是最基本的、应用最广泛的函数，也是进一步研究函数综合问题的基础.通过这几个函数的学习，学生初步掌握了函数基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.由于分段函数自身的特点，可以将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数等内容融合在一个题目中综合考查.以分段函数为载体，提高学生从函数角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，促进学生数学学科核心素养的不断提升.文献[1]从常见的分段函数进行分类，文献[2]从画图像的角度阐述如何突破重点和难点.本文对分段函数问题进行分析梳理，总结出四个模型，并提出分段函数的主题教学设计.

二、分段函数的题型分析

1.直接求解模型

评析：本题属于零点模型问题，主要处理方法是令[g（x）=0]后，分解为两个不同类型的函数，其中一个函数为已知的分段函数，另一个函数含参数，画出两个函数的图像，结合题意即可求解.

三、分段函数的主题教学设计

1.夯实基础知识

在认知起点中，学生首先需要基本掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数等函数的性质和图像;其次能够“徒手”比较精准地画出常见函数的图像，对于图像的对称、翻折、平移、伸缩等知识需要熟练掌握，特别注意指数函数和对数函数翻折后的“渐近线”的变化问题.

对于常见的数形结合、函数与方程、分类讨论、转化与化归等重要数学思想要有基本的认识，并且能够初步掌握.

2.由易到难，逐渐递进

在进行分段函数主题教学设计时，由易到难，逐渐递进.设计思路可从分段函数的定义域已知，设计函数表达式变式，设计问题的变式;也可以函数的表达式已知，定义域变式，问题变式.先熟悉掌握基本题型，再逐渐进行变式练习，设计难度落在学生的“最近发展区”内，螺旋式提升学生的核心素养.

对章节的整合也如此，分段函数中的函数表达式在冪函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数逐步递进.

3.学生深度参与，教师点拨

分段函数是一个很好的教学素材.教师积极引导学生独立思考、自主探究、合作交流，学生深度参与到教学活动中.教学活动过程是教师引导的过程，教师引导得当，效果事半功倍，学习更是学生寻找分段函数的规律、探索分段函数奥秘的过程，核心素养需要学生积极主动去建构才能完成.

对于一些作图精确度要求比较高的题目，教师可以通过计算机辅助教学，比如借助几何画板、玲珑画板、MATLAB等作图工具来画出精确的图像.

4.提炼模型，形成素养

将典型题目进行分析梳理，整理出几个模型.放手让学生说，教师少说一点，说错也好，说得不够全面也好，都不要紧，大胆地表达自己的观点，每个学生都说一些，学生在自己说的和别人说的过程中也会感悟出一些规律.并且鼓励学生用自己的眼光发现分段函数各个模型的特征，归纳出模型的解决方法，印象特别深刻.

教师在学生表达的基础上加以修饰，加以总结，提炼出分段函数的常见模型，总结出每个模型的结构特征和解决方法，提炼数学模型.

在此基础上，教师可以收集各省市模拟题中关于分段函数的精彩题目，并且按照上述模型进行分类，分发给学生做主题训练，开阔学生视野，巩固基础知识，训练基本数学思想，发展数学能力，提升核心素养.

[   参   考   文   献   ]

[1]  潘敬贞，张科，唐明超，等.分段函数微专题复习的策略[J].河北理科教学研究，2019（4）：28-32.

[2]  王晓文.画好函数图像，突破教学难点[J].中学数学，2020（10）：10-13.

（责任编辑 陈   昕）