研究函数零点问题四法

马俊强 戴松沅

[摘 要]函数的零点问题，历来是高考的命题热点.探讨函数零点问题的求解方法，以帮助学生突破难点，提高学生的解题能力.

[关键词]函数;零点;策略

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）26-0020-02

在函数与方程有关的问题中，函数零点是最值得研究的问题之一.依据函数零点理论，可以研究方程的近似解，也可以探究函数图像的变化趋势.函数的零点问题一直是高考的一个重要考点.那么涉及这个考点的主要问题和方法有哪些？本文举例说明.

一、解方程法

函数与方程可谓一对孪生兄弟，它们之间是可以相互转化的.所谓解方程法，就是求方程[f（x）=0]的实数根，这些根就是函数[f（x）]的零点.因此，函数的零点是一个数，而不是一个点.

评注：函数零点的存在性定理是解决函数零点问题的主要根据.这个定理不仅能判断函数零点的存在，且也能发现函数零点落在哪个区间.运用函数零点存在性定理时，应特别注意两点：一是当函数值在某区间上恒正或恒负时，无论这个函数是否单调，这个函数在这个区间上都不会存在零点;二是函数零点存在性定理只能断定函数零点是存在的，却无法断定在这个区间上零点有多少个.

三、数形结合法

函数[y=f（x）]的零点，从数形结合角度看，即它的图像与[x]轴交点的横坐标.当这个函数图像无法作出，但可以变成两个函数的差的形式时，那么原函数的零点就是这两个函数的图像的交点的横坐标.于是，我们可以先画出这两个函数的图像，再观察它们的交点情况，最后对零点个数做出判断，此法就是判断函数零点个数最常用的数形结合法.

综上可知，正确答案为B.

评注：利用单调性分析法解决函数零点问题的基本思想实际上就是数形结合的思想，其要点是“在指定区间上的单调函数至多有一个零点.如果有零点，那么函数就有唯一的一个零点”，这是解决函数在指定的区间上零点唯一性问题的主要思想方法.

函数的零点问题，历来是高考的命題热点，主要题型有判断函数的零点个数，或已知含有参数的函数的零点或零点个数求参数的值或参数的取值范围.以上四种方法是求解这类问题的基本方法.

（责任编辑 黄桂坚）