用替换法证明数列不等式

陈康 刘晓静

[摘要]近年来的高考数学压轴题多数与不等式有关.其中的数列不等式的证明是一个难点，考试得分率低，多数考生望而生畏，突破这个难点的有效办法是通过构造数列的求和，用替换方法证明数列不等式，此证明方法可操作性强，学生易掌握.

[关键词]替换法;不等式;压轴题;数列

[中图分类号]

G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020）23-0001-02

近五年来的高考数学压轴题中，就有18道题目考查了不等式或不等式的证明，因此，研究不等式的证明就成了高三数学教师及高考试题研究者必须研究的问题，

这些不等式证明题，可分为三种类型：

第一种类型是证明与x有关的不等式，如2018年全国卷Ⅲ（文科）的第21题，2018年全国卷Ⅱ（理科）的第21题，2016年全国卷Ⅲ（文科）的第21题，2016年全国卷Ⅱ（理科）的第21题，

第二种类型是证明关于x1和x2的不等式，其中x1和x2是已知函數的极值点或零点，如2018年全国卷I（理科）的第21题，2017年全国卷Ⅱ（理科）的第2l题.2016年全国I（理科）的第21题，2015年全国卷Ⅱ（理科）的第21题，

第三种类型是证明关于n的不等式，其中n是正整数，如2017年全国卷Ⅲ（理科）的第21题，2014年高考陕西卷（理科）的第2l题，2013年全国大纲卷的第21题，

这些数列不等式不但综合了数列和不等式的相关知识，而且与函数的性质、导数等内容相结合，题目综合性强且难度大，

对于第一、第二种类型问题，比较常见，并且基本上都是用构造函数方法来证明，我们主要来分析第三种类型题目的解题方法.

[例1]（2017年高考全国卷Ⅲ理数21题变式）

点评：本题不同于例1，要从第（2）问得到的基本不等式中，猜测用n的代数式替换x是很难办到的，需要用分析法，且要拟合为数列求和，再比较其通项，结合由（2）所得的基本不等式，用n的代数式1/n替换不等式中的x即可，

点评：本例的分析过程比较顺畅，学生易理解，但若用第（2）小题的结论或用第（3）小题中第①问的结论，通过猜测用n的代数式替换x的办法是比较困难的，而用替换不等式、通过构建两数列的求和式子的方法，则难点就很容易突破，

如何用n的代数式替换不等式中的x？若不通过拟合为数列求和问题，则问题很难解决，而利用替换方法，结合数列求和方法来处理，那解出来只是时间问题而已了，笔者研究了近十年来全国卷中的有关数列不等式问题，大多数的题目用上述方法都能解决.

（责任编辑 黄桂坚）