不等式易错点剖析

陈爱强

[摘要]理解和掌握不等式的基础知识，对易错题型加以归纳总结，可以避免解题错误，提高学生的解题能力.

[关键词]不等式;易错点：剖析

[中图分类号]G633.6

[文献标识码]A

[文章编号]1674-6058（2020）14-0010-02

高考中常常直接或间接考查不等式的知识，题型既有选择题也有填空题，客观题突出对不等式性质应用的考查，主观题常与其他知识如函数、导数、数列、三角等进行交汇，学生在利用不等式性质解题时常会出现各种错误，因此，有必要将各种易错点进行归纳、分析，以引起警惕，现将不等式中常见易错点列举如下，

一、不等式变形导致的错误

[例1]已知-2

错解：∵-2

分析：本题的错误是直接去求-2n的范围，忽视已知中的条件m

正解：∵-2

[例2]已知f（x）=ax^{2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.}

错解：∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，∴l≤a-b≤2①，2≤a+b≤4 ②，又∵f（-2）=4a-2b，∴①+②得3/2≤a≤3，∴6≤4a≤12③，∵①+②x（-1）得-3≤-2b≤0 ④，∴③+④得3≤4a-2b≤12，∴3≤f（-2）≤12.

分析：这种解法错误在于多次运用不等式性质时，没有充分考虑到限制条件，即等号不能同时成立，这样就导致所求的范围扩大了.要认识到a与b不是相互独立的，而是两个相互联系的整体，当a取等号时b未必会取到等号，因此本题在解答过程中应把a-b和a+b当作一个整体来处理，只有这样才能得到正确的答案，

正解：令f（-2）=mf（-1）+nf（1），∴4a-2b=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+（n-m）b，∴m+n=4，n-m=-2，∴m=3，n=l，∴f（-2）=3f（-1）+f（1），∴3≤3f（-1）≤b，2≤f（1）≤4，∴5≤3f（-l）+f （1）≤10，∴5≤f（-2）≤10.

二、忽视隐含条件导致的错误

[例3]若a>b，a，b

R，比较a³-a²b+ab²与a²b-ab²+b³的大小.

三、忽视均值不等式成立的条件

[例4]求函数y=1-x-（9/x）的最值.

错解：∵y=1-〔x+（9/x）〕，而由均值不等式知x+9/x≥2（√9）=6，∴y≤1-6=-5，∴y_max=-5.

分析：上述解法忽视均值不等式成立的前提条件，即各项均为正数，实际上，由于已知没有给出x的取值范围，所以应对x的取值进行分类，即分为x>0和x<0.因此在应用均值不等式时应先考虑是否滿足各项均为正数这个前提条件.

[例5]若O

分析：这种解法忽视“和”或“积”为定值的条件，当凑出的和为定值时，对应各个量积有最大值;当凑出的积为定值时，对应各个量和有最小值，而〔（3-x）/2〕²？：不是定值，应通过配凑法使和为定值.

[例5]求函数y=（x²+3）/√（x^{2+2）（x∈R）的最小值.}

综合上述不等式求最值的例子，在应用均值不等式求最值时，需注意均值不等式的条件：“一正，二定，三相等”.

四、不等式放缩不当导致的错误

五、命题的不等价转化导致的错误

[例8]已知关于X的方程X^{2+（k-2）x+5-k=0的两根都大于2，试求实数k的取值范围.}

六、思维定式导致的错误

[例9]求不等式x^{2+ax+1>0在-2≤a≤2恒成立的条件.}

综上，不等式中有很多易错点.在解答有关不等式问题时，应注意不等式中的隐含条件，应用均值不等式时要注意公式成立的条件，在不等式变形过程中要注意等价变形，不能让范围人为变大，对一些不等式恒成立问题，不能根据式子的表面特点用固定思维去分析解决，应结合已知条件从各个方面去分析，找出题目的实质.另外，在证明不等式时，有时需要根据所要证的式子特点将式子适当放大或缩小，放得过大或过小都会导致证明失败，因此，当我们在熟练掌握不等式性质后，又能知晓并避免不等式中这些易错点，通过一定的练习，那么在碰到有关不等式问题时，就能从容应对，就不会再出现类似错误.

（责任编辑 黄桂坚）