三角函数的值域和最值问题求解策略

王雷 葛艳

[摘要]探讨三角函数的值域和最值问题的求解策略，以全面巩固学生的基础知识，提高学生的数学思维能力和数学运算的核心素养.

[关键词]三角函数;值域;最值

[中图分类号]G633.6

[文献标识码] A

[文章编号]1674-6058（2020）14-0018-02

有关三角函数值域和最值问题，素来是高考命题热点之一，求解这类问题涉及化归、数形结合等重要的数学思想方法，有关三角函数的值域和最值问题，通常可采用哪些基本的解题策略呢？

一、利用三角函数的图像

图像法能让函数性质彻底“曝光”，三角函数也是如此，当三角函数图像容易画出时，它的图像会直接显示它的值域或最值，所以图像法是求三角函数的值域和最值问题的首选.

[例1]已知函数f（x）=（sinx+cosx）+|sinx-cosx|，则f（x）的值域是______

分析：去掉绝对值符号，f（x）就是一个分段函数，再分段画出图像.

二、利用正余弦函数的有界性

正余弦函数的值域具有有界性，即sinx，cosx∈;[-l，1]，利用这个特征可以解一些与正余弦函数复合的三角函数的值域或最值.

[例2]求下列两个函数的值域.

（1）y=（cosx-3）/（cosx+3）;（2）y=（sinx）/（cosx+2）

分析：本题两个函数都是与正余弦函数复合的分式型三角函数，可考虑利用三角函数的有界性来求解.

三、转化为二次函数最值问题

转化，是数学解题的主旋律，当三角函数比较复杂，依靠三角函数本身无法求真，真值域或最值时，可把它转化为其他函数来解决，转化为二次函数最为常见.

[例3]（1）已知sinx+siny=1/3，求siny-cos²x的最大值与最小值.

（2）求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值.

分析：（1）消去siny后可直接看成关于sinx二次函数.（2）通过换元后转化为二次函数求最值问题.

四、利用函数y=Asin（ωx+φ）+B求最值

对于一个含有sinx与cosx的二次齐次的三角函数来说，利用三角恒等变换公式，一般都可化成y=Asin（ωx+φ）+B形式，即将二次式转化为一次式，继而利用三角函数的有界性就可求出它的最值与值域.

[例4]已知函数f（x）=Asin （ωx+φ）（A>O，ω〉0，φ∈[0，π））的圖像如图2所示.

（1）求函数f（x）的解析式;

（2）求函数g（x）=f（x）+√3 f（x+2）在X∈[-1，3]上的最大值和最小值.

分析：（1）根据图像给㈩的关键点的位置与坐标求出f（x）的解析式;（2）将函数g（x）表达式y=Asin（ωx+φ）+B的形式.

当然，求解三角函数的值域与最值问题，还有许多方法，这些方法的根本是转化，把原来无法解决的问题转化为熟知的问题来解决.

（责任编辑 黄桂坚）