钱志祥
[摘 要]以一道典例为载体对四边形中位线进行探究与变式，培养学生的探索精神，提高学生举一反三的能力.
[关键词]四边形;中位线;变式
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2019）35-0036-02
三角形的中位线定理在解决几何问题中有着十分广泛的应用，如果题中出现多个中点，可考虑使用三角形的中位线定理来解答.与三角形中位线类似，把连接四边形一组对边中点的线段称为“四边形中位线”，四边形中位线没有什么性质，但当四边形另一组对边相等或对角线相等时，会产生一些有趣的结论.下面就一道典例进行探究.
原始模型：另一组对边相等的四边形中位线.
[例1]如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，试判断△PMN的形状.
解析：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM= [12] AB，PN= [12] DC，∵AB = CD，∴PM = PN，∴△PMN是等腰三角形.
点评：对于另一组对边相等的“四边形中位线”有：对角线中点与不相等对边两中点构成的三角形是等腰三角形.这个结论是由三角形中位线推得的结论.在四边形中要利用三角形中位线，需要把四边形分割成三角形，其基本方法就是连接对线角.
变式1.将四边形中位线及相等两边延长相交.
[例2]如图2，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F.求证：∠BEN=∠NFC.
证明：如图3，连接AC，取AC的中点G，连接NG，MG，∵点M，G，N分别是边AD，AC，BC的中点，∴MG、NG分别是△ADC与△ABC的中位线，∴NG∥AB，MG∥CF，∴∠BEN = ∠FNG，∠CFN = ∠NMG，∵NG = [12] AB，MG = [12] CD， AB = CD，∴NG =MG，∴∠MNG =∠GMN，∵∠MNG=∠BEN，∠GMN=∠CFN，∴∠BEN=∠NFC.
点评：对于另一组对边相等的四边形中位线有：将四边形中位线及相等对边延长相交而成的锐角相等.
变式2：对角线相等的四边形中位线.
[例3]如图4，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交CD、AB于点M、N，试判断△OMN的形状.
解析：如图5，取AC的中点P，连接PF，PE，∵点F、P 是AD、AC的中点，∴PF是△ADC的中位线，∴PF=[12CD]，PF∥CD，同理：PE=[12AB]，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，∠PFE=∠CME，∵AB=CD，∴PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形.
点评：在对角线相等的四边形中位线问题中，取一边中点构造三角形中位线，目的是利用已知中相等的两条线段.另一方面，对角线相等的四边形中位线与两条对角线围成的三角形是等腰三角形.
变式3：将另一组对边相等的四边形的相邻两边放在同一直线上.
[例4]如图6，在△ABC中，D为AC上一点，AB=CD，F是AD的中点，N为BC的中点，连接NF并延长交BA延长线于点E，G为EF的中点，求证：AG⊥NE.
证明：如图7，连接BD，取BD的中点为O，连接FO，NO，∵F是AD的中点，N为BC的中点，∴NO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，∴NO = [12] CD，FO = [12] AB，NO∥AC，OF∥AB，∵AB=CD，∴NO=FO，∴∠OFN=∠ONF，∵OF∥AB，∴∠OFN=∠AEF，∵ON∥AC，∴∠ONF=∠CFN=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵G為EF的中点，∴AG⊥NE.
点评：本题是“另一组对边相等的四边形中位线”问题的“变种”，虽然用三角形的基本图形来遮挡，但仍属于四边形的中位线，我们应仍按四边形中位线模式来解答，同时我们还发现，将另一组对边相等的四边形，相等的两边和四边形中位线延长可以得到一个特殊的三角形——等腰三角形.
变式4：赋予另一组对边相等的四边形一个特殊的角度.
[例5]如图8，在△ABC中，[AC>AB]，D点在AC上，AB=CD，N、F分别是BC，AD的中点，连接NF并延长，与BA的延长线交于点E，若∠NFC = 60°，连接ED，判断△AED的形状并证明.
解析：如图9，连接BD，取BD的中点H，连接HF、HN，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF = [12] AB，同理，HN∥CD，HN= [12] CD，∵AB=CD，∴HF=HN，∴∠HNF=∠HFN，∵∠NFC=60°，∴∠HNF=60°，∴∠HNF=∠HFN=60°，∴△NHF是等边三角形，∴∠3=∠NFC=∠AFE=60°，∴△AEF是等边三角形.∵AF=FD，∴EF=FD，∴AF=FD =EF，∴∠AED=90°，∴△AED是直角三角形.
点评：此题是对原始模型的又一次扩展，赋予原始模型一个特殊的角度，但不管如何，作辅助线的方法仍没有变，证明之初的思路与步骤基本相同.在几何问题中，掌握一些基本图形及基本图形的解法与应用，对于解答复杂几何问题将有很大的帮助.
总之，变式就是创新.在变式中，教师要抓住“思维训练”这条主线，通过变化问题情境或变化思维角度，提高学生的应变能力，同时不能为变而变，要遵循学生的心理认知规律，通过一题多变，发现其中不变的规律和发展的方向.
（特约编辑 安 平）
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