一道数学压轴题的多解探究

周杰华

[摘   要]探究一道压轴题的多种解法，以唤醒学生的创新意识，激活学生的发散性思维，提升学生的解题能力.

[关键词]压轴题;多解;函数;导数

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0005-02

数学压轴题具有典型性、示范性和代表性的特征，通过对其进行一题多解教学，有利于培养学生的直观想象能力，促使学生思维发散，提升学生的数学素养.

【题目】已知函数[f（x）=x2+2x+alnx]，记[f（x）]的图像为曲线[C].

（Ⅰ）当[a=1]时，求曲线[C]在点[（1，f（1））]处的切线方程;

（Ⅱ）当[a≤4]时，记[f（x）]的导函数为[g（x）]，对任意两个不相等的正数[x1，x2]，证明：[g（x1）-g（x2）>x1-x2] .

【多解探究】本题（Ⅰ）比较简单，当[a=1]时， [f（x）=x2+2x+lnx]，求导得[f '（x）=2x-2x2+1x]，所以曲线[C]在点[（1，f（1））]处的切线斜率为[f '（1）=1].又由[f（1）=3]知切点坐标为[（1，3）]，故所求切线方程为[y-3=x-1]，即[x-y+2=0].

以下着重给出本题（Ⅱ） 的多解探究.

解法一：由题设得[g（x）=f '（x）=2x-2x2+ax，x>0]，所以[g'（x）=2+4x3-ax2] [=2x3-ax+4x3，x>0].

设函数[t（x）=2x3-ax+4，x>0]，当[a≤0]时，易知[t（x）>0];当[00]，所以[t（x）>0.]

于是，可知当[a≤4]时，[2x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立，从而可得[g'（x）>0]，所以函数[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递增.

不妨设[x1x1-x2]，即证[g（x2）-g（x1）>x2-x1]，即证[g（x2）-x2>g（x1）-x1]，亦即证函数[h（x）=g（x）-x]在[（0，+∞）]上单调递增.

求导得[h'（x）=g'（x）-1=x3-ax+4x3，x>0].

设函数[m（x）=x3-ax+4，x>0]，当[a≤0]时，易知[m（x）>0];当[00]，所以[m（x）>0].于是，可知当[a≤4]时， [x3-ax+4>0]在[（0 ，+∞）]上恒成立，从而可得[h'（x）>0]，所以函数[h（x）]在[（0 ，+∞）]上单调递增.故得证.

解法二：在解法一的基础上，仅做两处改进。

改进1：证明当[a≤4]时，[2x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立.

當[x>0]时，[2x3-ax+4>0]恒成立[?a<2x2+4x]恒成立[?a<2x2+4xmin=6]，所以当[a≤4]时，可得[2x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立.

改进2：证明当[a≤4]时，[x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立.

当[x>0]时，[x3-ax+4>0]恒成立[?a0]在[（0，+∞）]上恒成立.

解法三：由题设得[g（x）=f '（x）=2x-2x2+ax]，所以[g（x1）-g（x2）=2（x1-x2）+2（x21-x22）x21x22+a（x1-x2）x1x2=][（x1-x2）2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2.]

于是，欲证[g（x1）-g（x2）>x1-x2]，

即证[x1-x2?2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>x1-x2]，又由[x1≠x2]知[x1-x2>0]，所以即证[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1].

接下来，给出两种不同的证明.

证法1：由基本不等式及[a≤4]可得[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2≥2+4（x1x2）3-4x1x2] . ①

设函数[u（t）=4t3-4t2+2]，其中[t=1x1x2>0]，则因为[u'（t）=12t2-8t]，所以易知当[t∈0，23]时，[u'（t）<0];当[t∈23，+∞]时，[u'（t）>0].于是，函数[u（t）]在[0，23]上单调递减，在[23，+∞]上单调递增，所以[u（t）≥u23=3827>1].

从而，可得[2+4（x1x2）3-4x1x2>1]，进而结合①可知[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1]，所以[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2     >1].故得证.

证法2：由基本不等式可得[x1x2+2（x1+x2）x1x2>x1x2+4x1x2] .②

设函数[m（t）=t2+4t]，其中[t=x1x2>0]，则因为[m（t）=t2+2t+2t≥343>4]，所以[x1x2+4x1x2>4].于是，结合②及[a≤4]可得[x1x2+2（x1+x2）x21x22>a]，所以两边同除以[x1x2]得[1+2（x1+x2）x1x2>ax1x2]，所以再移项且两边同时加上1可得[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1]，所以[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1].故得证.

【反思】上述解法一先分析函数[g（x）]在[（0，+∞）]上的单调性，以便去掉目标不等式中的绝对值，再经过适当移项变形可发现结构特点，有利于构造函数求解目标问题;解法二改进的证明思路可叙述为：借助不等式恒成立的等价转化策略（分离参数，等价转化为求相关函数的最值），巧妙证明两个不等式恒成立;解法三先将欲证不等式具体化，有利于等价转化目标问题，然后给出两种不同的思路，其关键都是将含有[x1+x2]和[x1x2]的混合表达式放缩为只含有[x1x2]的表达式，以便换元、构造函数，利用函数的单调性或基本不等式进行放缩处理（其中证法1先利用基本不等式对绝对值内部进行适当放缩，再构造函数，利用其单调性加以求解;证法2的书写过程利用了综合法，其思路是利用分析法获得的，这是因为不等式[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1][?a

综上，思考角度不同，呈现不一样的解法，真正取得了“教一题，会一类，通一片”的教学效果.

（责任编辑 黄桂坚）