圆形匀强磁场对带电粒子的汇聚和发散作用

赵前山 安静

[摘   要]带电粒子在磁场中的运动问题种类多，试题难度较大，学生分析解答较难，然而这方面知识，却是高考考查的重点和热点，值得广大高三教师和学生重点关注。有关带电粒子在磁场中运动问题的文章很多，但讨论圆形匀强磁场对带电粒子的汇聚与发散作用的文章较少，在此做简要的探讨。

[关键词]圆形匀强磁场;带电粒子;汇聚;发散

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0052-02

在高中物理教学中，圆形匀强磁场对带电粒子的汇聚和发散作用是经常遇到的题型，高考中也常见，那么这两种模型有什么规律呢？

以上是磁汇聚的证明，磁发散也可以证明（可以参看例1），如图2所示。

画出带正电的粒子在磁场中的运动轨迹如图2中实线所示，O2为轨迹圆心。设粒子的入射方向与x轴的夹角为[θ]，由几何知识可知，

从以上的证明过程来看，平行四边形OAO′B（或四边形OO1EO2）为菱形是问题的关键，表明有界圆形匀强磁场的圆形半径和粒子运动的圆半径相等是结论成立的前提。若二者不相等，结论不成立。

由此我们可以得出下面的结论。

前提条件：当圆形匀强磁场的半径与粒子运动的圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律。

磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上某点射入磁场，如果圆形匀强磁场的半径与粒子运动的圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如图3所示（正粒子为例）。

磁汇聚：平行射入圆形有界匀强磁场的相同带电粒子，如果圆形匀强磁场的半径与粒子运动的圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如图4所示（正粒子为例）。

从以上分析可以看出，磁发散的粒子都从AB的右半圆的边界平行射出，而磁汇聚的粒子虽然都是平行射入但是都从AB半圆的左半边汇聚于A点。

下面看几个例子。

【例1】（磁发散）如图5所示，P是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子（不计重力），而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达。假若放射源所放出的是质量为m、电量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是v，M与放射源的出口在同一水平面，底片MN竖直放置，底片MN长为L。为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场，求：

（1）匀强磁场的方向;

（2）画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示;

（3）磁感應强度B的大小以及最小有界匀强磁场的面积S。

解析：

（1）所有粒子经过磁场时受洛伦兹力作用，而向右偏转，由左手定则可以判断出：匀强磁场的方向垂直纸面向外。

（2）最小有界磁场如图6所示。

解析：

（1）由磁发散规律可知，从圆形有界磁场边界上O点射入磁场的电子，由于轨迹圆半径等于磁场圆半径，因此所有电子出射的速度方向互相平行，都平行于入射点的切线方向，即与Ox平行，如图11所示。

（2）由磁发散和磁汇聚规律可知：考虑向x轴上方射出的电子，从磁场1中射出的电子速度相同，如果再平行射入一个等大的圆形有界磁场，则又会聚焦于x轴上的同一点N，根据左手定则，可以确定磁场2的方向也是垂直纸面向里的，如图12所示。考虑几何条件的限制，两个磁场不能相互交叠，则MN间的距离应该大于两圆的半径之和，即[L≥2R]（L为MN两点间的距离），由此可得所加磁场的磁感应强度应满足条件：[B≥2mv0eL]。

对于向x轴下方射出的电子，要将它们从M点射出后聚焦于N点，也可以采取相同方法，加上两个半径也是R的圆形磁场，只是x轴下方磁场方向应与上方的相反。整个磁场区域设计如图13所示。

实际上，在非匀强磁场中也有磁发散和磁汇聚现象，这种将发散粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦的现象十分相似。

磁汇聚在许多电真空系统（如电子显微镜）中得到广泛应用，实际中用得更多的是短线圈内非均匀磁场的磁汇聚。这一原理也可以应用于可控热核反应的研究中，这种现象也存在于宇宙空间，例如地球的磁场在南北极较强，中间较弱，它可将宇宙射线中部分带电粒子俘获，并且把它们约束在一定空间范围内，形成环绕地球的辐射带（称为范·阿伦辐射带）， “护佑”着善良的人们，使他们得以享受美好的生活。

（责任编辑 易志毅）