王新星
[摘 要]有些题目在题面中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化，自行挖掘圆（或圆的方程），最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题.研究“隐形圆”问题的解题策略，可以提高学生的能力.
[关键词]隐形圆;挖掘;策略
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2019）05-0029-02
有些题目在题面中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化，自行挖掘圆（或圆的方程），最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题.该类问题的难点是如何快速破解题意，找到圆（或圆的方程），一旦难点突破，解题势如破竹.笔者通过研究考题发现，找“隐形圆”可从“数”的角度（求出其方程）来发现.下面笔者介绍几种解决此类问题的策略.
策略一：直接由圆的方程确定隐形圆
[例1]已知实数a，b，c满足[a2+b2=c2]，[c≠0]，则[ba-2c]的取值范围为__________.
【解】方法一： 令[ac=x]，[bc=y]，则原题转化为实数x、y满足[x2+y2=1]，求[yx-2]的取值范围，归结为以原点为圆心的单位圆上的动点M[（x，y）]与定点[P（2，0）]（如图1）的斜率的取值范围.
方法二： 令[a=ccosθ]，[b=csinθ]，原题转化为求[sinθcosθ-2]的取值范围，而动点[（cosθ，sinθ）]在以原点为圆心的单位圆上，以下同方法一.
评析：本题的本质是题设给出的勾股数的模型实际上是圆隐含其中.两种方法各有优缺，可以自行进行比较.
策略二：直接由圆的参数方程确定隐形圆
[例2]已知[θ，t∈R]，则[（cosθ-t-2）2+（sinθ-t+2）2]的取值范围是__________.
【解】 点[P（cosθ，sinθ）]在以原点为圆心的单位圆上，[Q（t+2，t-2）]在直线[x-y-4=0]上（如图2），转化为圆上的动点与直线上的动点的距离的平方的取值范围，圆心到直线的距离为[22].因此，圆上的动点与直线上的动点的距离的最小值为[22-1]，其平方为[9-42].此类双动点问题，实际上需要学生对两点的軌迹都要能够自行发现，具有一定的隐蔽性.
策略三：动点P对两定点A、B张角是[90°]（[kPA?kPB=-1]或[PA?PB=]0）确定隐形圆
[例3]在平面直角坐标系xOy中，已知点[A（-4，0） ，B（0，4）]，从直线[AB]上一点向圆[x2+y2=4]引两条切线[PC、PD]，切点分别为[C、D].设线段[CD]的中点为[M]，则线段[AM]长的最大值为 .
【解】方法一（利用策略三）：因为直线[AB]的方程为[y=x+4]，所以可设[P（a，a+4）]，则直线[CD]的方程为[ax+（a+4）y=4]，即[a（x+y）=4-4y]，所以直线[CD]过定点[N（-1，1）]，又因为[OM⊥CD]，所以点[M]在以[ON]为直径的圆上（除去原点），又因为以[ON]为直径的圆的方程[x+122+y-122=12 ]， 所以[AM]的最大值为[32].
方法二（利用消参思想）：因为直线[AB]的方程为[y=x+4]，所以可设[P（a，a+4）]，则直线[CD]的方程为[ax+（a+4）y=4]，即[a（x+y）=4-4y]，得[a=4-4yx+y].
又因为[O]、[P]、 [M]三点共线，所以[ay-（a+4）x=0]得[a=4xy-x].
因为[a=4-4yx+y=4xy-x]，所以[x+122+y-122=12]（除去原点），所以[AM]的最大值为[32].
策略四：由两定点A、B，动点P满足[PA?PB=λ]（[λ]是常数），求出动点P的轨迹方程确定隐形圆
[例4]如图3，已知圆[C：（x-3）2+（y-4）2=1]和两点[A（-m，0） ，B（m，0） ][（m>0）].若圆C上存在点P，使得[PA?PB=1]，则m的取值范围是__________.
【解】设点[P（x，y）]，满足[PA?PB=1]，得[x2+y2=1+m2]，这是一个圆的方程，从而转化为两圆有公共点，得[1+m2-1≤5≤1+m2+1]，解得m的取值范围是[[15，35]].
评析：本题可以从[PA?PB=0]推广到[PA?PB=λ]，发现此时的点P在以AB为直径的圆上.假如学生大脑中没有这一模型，用求轨迹的一般思路来处理，也同样可以得解.
策略五：由两定点A、B，动点P满足[PA2+PB2]是定值确定隐形圆
[例5]在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x - a）2+（y-a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2 =10，则实数a的取值范围是__________.
【解】如图4，设M（x，y），由MA2 + MO2 =10，A（0，2），得x2+（y -1）2 = 4，而M 又在圆C：（x - a）2 + （y - a + 2）2 =1上，故它们有公共点，则1≤ a2+（a-3）2 ≤ 9，解得实数a的取值范围是[0，3].
评析：该问题与题型一有形式上的相似之处，如果学生大脑中具备这一模型，问题就不难得到解决.
策略六：由两定点A、B，动点P满足[PAPB=λ（λ>0，λ≠1）]确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）
[例6]已知圆[C：（x-1）2+y2=1]，点[D（3，0）]，过动点[P]作圆[C]的切线，切点为[Q]，若[PD=2PQ]，则[△PCD]面积的最大值为 .
【解】设[P（x，y）]，因为[PD=2PQ]，所以[PD2=][2PQ2]，又[PQ2=PC2-1]，所以[（x-3）2+y2=2（x-1）2+y2-1]，求得[P]的轨迹为[（x+1）2+y2=10]，故易得[△PCD]面积的最大值为[10].
评析：此类问题是典型的阿波罗尼斯圆问题，需要学生对题目顺藤摸瓜，最终有效解决问题.
在教学中，如何教会学生转化数学语言非常重要.代数语言就是抽象的符号语言和文字语言的结合，几何语言是存在于人意识中的直观图形.掌握代数语言和几何语言的对应转化方法，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，可以优化解题过程.本文通过“隐形圆”这一几何图形的挖掘，让学生初步掌握代数模型转化成几何问题的一般思路.相信通过以上几种策略的学习，学生会发现这类题目往往没有直接给出有关圆方面的信息，但通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.这类题构思巧妙，综合性强，往往有“不识庐山真面目，只缘身在此山中”之感，但是当拨开题面后，又会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之叹！
（责任编辑 黄桂坚）
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