张辉
[摘要]在数学教学中，一题多解能训练学生发散思维.在众多解法中确定最好的解法，能提高解题效率.
[关键词]高中数学;一题多解;优化;解法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章編号]16746058（2018）08002501
题目：在△ABC中，sinA+cosA=15，求tanA的值.
解法1：sinA+cosA=15①，两边平方得1+2sinAcosA=125，
即sinAcosA=-1225②，
联立①②得
sinA=45，
cosA=-35
或sinA=-35，
cosA=45
因为0
所以sinA>0，
故sinA=45，
cosA=-35，
可得tanA=
sinAcosA
=-43
.
解法2：
sinA+cosA=15
①，两边平方得
1+2sinAcosA=125，
即sinAcosA=-1225，可得π2
（sinA-cosA）2=1-2sinAcosA=4925
，
sinA-cosA=75②，
解①②得
sinA=45，
cosA=-35，
可得
tanA=sinAcosA=-43
.
解法3：sinA+cosA=15，
两边平方得1+2sinAcosA=125
，即sinAcosA=-1225，
∵sinAcosA=
sinAcosAsin2A+cos2A
=tanAtan2A+1
，
∴tanAtan2A+1
=-1225
，
解得tanA=-43或tanA=-34
.
由
sinA+cosA>0，
sinAcosA<0，
0
得
|sinA|>|cosA|，有|tanA|>1，
∵tanA=-43.
解法4（参数法）：设
x=cosA，y=sinA>0，
则x，y满足x2+y2=1，x+y=15，
tanA=yx，易知点B（x，y）是直线x+y=15与圆
x2+y2=1在第二象限的交点，
令yx=k，则k为直线OB的斜率，在△AOB中，求∠AOB的正切值即可.
易知
∠AOB=45°，OA=15，OB=1，由正弦定理得
OBsin∠OAB=
OAsin∠OBA，
即
1sin45°=15
sin∠OBA
，可得，
sin∠OBA=210，
tan∠OBA=17，
所以
tan∠AOB=-tan（∠ABO+∠OAB）
=-
17+1
1-17
=-43.
变式：点B（x，y）满足x2+y2=1和x+y=15，且点B（x，y）在第二象限，则yx=.
易知此题至少有4种解法，可归为两类：几何法和三角代换法.上述解法中优选解法2.解法3是学生比较容易想到的方法，但运用此法要注意合理取舍，并且该交代的理由要交代清楚.例如，计算出tanA=-43或tanA=-34，如果只交代0
（责任编辑黄桂坚）
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