程琬婷
[摘要]高中数学把空间向量引入到立体几何中，使几何常规问题坐标化、符号化和数量化，将复杂的推理转化为代数运算，从而降低了思维难度.探讨平面法向量的求法有现实意义.
[关键词]高中数学；立体几何；平面法向量
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002902
平面法向量的定义：如果n⊥α，那么向量n叫作平面α的法向量.
一、方程法
利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组.但由于有三个未知数，两个方程，所以要设定一个变量的值才能求解.要使法向量简洁，设值可灵活（注意：取值不能取“0”），法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以.
【例1】已知向量a、b是平面α内的两个不共线的向量，
a=（1，2，3）
，
b=（2，1，-1）
，求平面α的一个法向量.
解析：设n=（x，y，z）为平面α的法向量，则由
n⊥a，n⊥b得
n·a=0
n·b=0
，
即
x+2y+3z=0
2x+y-z=0
，令z=1，则
x+3y=-3
2x+y=1，
∴
x=53
y=-73.
所以平面α的一个法向量为n=
53，-73，1
.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC.
【证明】以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图1，则
A1C1=（-1，-1，0），
B1C=（-1，0，-1），
A1D=（1，0，1），
B1A=（0，-1，-1），
设A1E=λA1C1，
A1F=μA1D
，B1M=vB1A（λ、μ、v∈R
，且均不为0），
n1
=（x1，y1，z1）
、
n2
=（x2，y2，z2）
分别为平面A1EF与平面B1MC的法向量，
由
n1·A1E=0
n1·A1F=0
，可得
n1·λA1C1=0
n2·μA1D=0
，
即
n1·A1C1=0
n2·A1D=0
.
解之得n1=（1，1，-1）.
由
n2·B1M=0
n2·B1C=0
，可得
n2·vB1A=0
n2·B1C=0
，
即
n2·B1A=0
n2·B1C=0
，
解之得n2=（-1，1，-1）.
∴n1=-n2
，n1∥n2，∴平面
A1EF∥
平面B1MC.
二、行列式法
利用二階行列式：
M=
ab
cd
=ad-cb
（交叉相乘再相减）.
设向量a、b为空间中两个不平行的非零向量，且a=（x1，y1，z1），
b=（x2，y2，z2）
，则平面α的法向量
n=
y1z1
y2z2
，
-
x1z1
x2z2
，
x1y1
x2y2
.
【技巧】首先把向量a、b的坐标竖方向对着写，接着要求n的哪个轴的数据就在竖方向相应划掉向量a、b哪个轴的数据，然后交叉相乘再相减.注意y取相反数.
【例3】如图2，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=CD=12AB=1
，M是PB的中点.
证明：平面PAD⊥平面PCD.
解析：以A点为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图3.则
A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
.∴AP=（0，0，1）
，
DC=（0，1，0）
，AD=（1，0，0）
，DP=（-1，0，1）.
设m=（x1，y1，z1），
n=（x2，y2，z2）
分别为平面PAD与平面PCD的法向量，则由平面法向量速解法求得
m=（0-0，-（0-1），0-0）=（0，1，0）
，n=（1-0，-
（0-0），[0-（-1）]）=（1，0，1），
∴m·n=0
，
∴m⊥n
，即平面PAD⊥平面PCD.
图4
【例4】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的余弦值.
解析：以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系D-zyz，如图4所示，则
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）
.∴A1B=（0，1，-1）
，AD=（-1，0，0）
，A1C1=
（-1，1，0），
AC=（-1，1，0）
.
设
n1=（x1，y1，z1）、
n2=（x2，y2，z2）分别为平面A1BC1与平面ABCD的法向量，则
方法一：由
n1·A1B=0
n1·A1C1=0
及
n2·AD=0
n2·AC1=0
可解得
n1=（1，1，1）
n2=（0，0，1）.
方法二：
n1=（0-（-1），-[0-（-1）]）=（1，1，1），
n2=（0-0，-（0-0），-1-0）=（0，0，-1）=-（0，0，1），
∴
n1=（1，1，1）
n2=（0，0，1）
.∴cos
n1·n2
|n1|·|n2|
=33
.
因此平面A1BC1与平面ABCD所成二面角的余弦值为33.
【点评】用法向量的夹角求二面角时应注意，平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同，求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
（责任编辑黄桂坚）
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