用坐标运算解决高考向量问题

周文建

[摘 要]平面向量是高考的一个考点，也是近年高考中的一个热点、难点问题.用坐标运算能解决高考中的向量问题.

[关键词]坐标运算；向量问题；高考

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2017）02003601

平面向量一直是高考中的一个考点，也是近年高考中的一个热点、难点问题.有的学生在解决平面向量问题时，使用常规的向量运算法，更多的学生相对更喜欢使用向量的坐标运算来解决问题.我们可以采用特值法或者将平面向量转化成向量的坐标运算.

【例1】 （2015年北京高考题理科第13题）在△ABC中，点M，N满足AM=2MC

，BN=NC

.若MN=xAB+yAC，

则x= ，y= .

题目所给的已知条件中，没有说明三角形是什么三角形，用一般三角形来解决问题，只能采用常规的方法，较烦琐.而应用平面向量基本定理来解决则会事半功倍.解题思路如下.

MN=MA+AB+BN

=-23AC+AB+12BC

=-23AC+AB+12（AC-AB）

=12AB-16AC

笔者发现大部分学生对于平面向量基本定理的应用都存在很大的问题，他们更喜欢应用向量的坐标表示方法，用坐标表示向量，进而应用坐标运算来解决问题.但是本题所给三角形没有说具体形状，就没有办法应用坐标方法.笔者认为，既然没说三角形是什么形状，也就是说直角三角形也是满足题意的.不妨假设三角形ABC为直角三角形，建立坐标系.解法如下.

试题分析：（特殊化）不妨设AC⊥AB，AB=4，AC=3.利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，A（0，0），M（0，2），C（0，3），B（4，0），N（2，32），

则

MN=（2，-12），

AB=（4，0），

AC=（0，3），

则（2，-12）=x（4，0）+y（0，3），

4x=2，3y=-12，∴x=12，y=-16

.

应用特殊值加向量的坐标方法来解决此类问题，可以把思维难度很高的向量基本逻辑运算转化成直角坐标运算来解决，从而降低题目本身的难度，使学生能够很快入手，轻松解决此类问题.现行高考中理科立体几何解答题就可以應用这个方法（建立坐标系）来解决，也是现在绝大部分教师建议学生应用的方法.既然立体几何可以应用这一方法，笔者认为在高考的客观题中也应应用此方法解决此类问题.但是如果像本题，不

能直接建立坐标系，需要使用特殊情况来建立坐标系的方法，只能局限于客观题.

【例2】 （2016年天津高考题第7题）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF·BC的值为（ ）.

若应用向量的坐标运算方法则可以如下解决.

【坐标运算】建立以BC为x轴，其中点为坐标原点的坐标系，则有

此题应用坐标运算的方法，只需要一步就可以得到答案，而用常规方法则至少需要四步.

【例3】 （2014年新疆维吾尔自治区高考第一次适应性检测第16题）若D为三角形ABC的边BC的中点，三角形ABC所在的平面内有一点P满足，则λ的值为 .

分析：题中没有说明三角形ABC的形状，不妨设三角形ABC是以角A为直角的等腰直角三角形，建立以A为坐标原点，有向线段AB方向为x轴正方向，有向线段AC方向为y轴正方向的平面直角坐标系.

综上可知，用坐标运算解决高考向量问题，可收到事半功倍的效果.

（责任编辑 黄桂坚）