会而不对 对而不全

史修凤

[摘 要]三角函数是高中数学的重要组成部分.三角函数求值是最基本的题型.探究解决三角函数求值问题出错的原因以及应对策略有实际意义.

[关键词]三角函数；求值；探究

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02003402

三角函数是高中函数知识的重要组成部分，是高考中的热点内容.然而，总有一些学生在解决三角函数问题时因小失大，犯一些低级的错误，拿不到满分，会而不对，对而不全.究竟是什么原因造成了这种情况？引发了笔者的深刻思考.下面仅从概念理解和解题方法选择两个角度对学生在三角函数求值过程中的计算错误进行分析.

一、概念、定义理解不透彻

概念、定义是解题之本.只有准确理解概念，掌握概念的内涵和外延，才能快速、准确地解题.三角函数中三角函数定义是三角运算的基础，是各种公式推导的基础.准确理解三角函数定义中各字母的含义才是王道.有的学生对数学概念的理解停留在表层，甚至只记一个形式，不求甚解，造成计算错误，让人万分可惜.如何让学生认识到理解概念的重要性，从本质上理解概念，运用好概念呢？笔者认为，首先要让他们产生认知冲突，形成求知欲望，让他们想知道错因，想知道如何改正；其次，在他们愤悱之时，适时点拨，通过其他学生的理解和讲解促使他们重新认识概念，在重新认识的过程中领悟概念的本质.

[教学片段一]

【例1】 （苏教版必修4第15页练习第2题）已知角α的终边经过点P（-x，-6），且cosα=-513，求x的值.

笔者投影学生的两种错误解法，让学生先思考再讨论、交流.

生1：两种解答都是错误的.虽然解法二比解法一多考虑了α的象限，舍去了一组解，但是两种解法的求解根源出错.他们审题不清，漏看了P点横坐标中x的符号“负号”，造成错解.两种解法都是机械套用公式，对三角函数的定义不理解或理解不到位.教材中规定：角α的余弦函数的定义式是比值cosα=xr

，其中x是角α终边上任意一点（非原点）的横坐标r，是该点与坐标原点的距离.此题横坐标明明是-x，故cosα=-xr，而不是cosα=xr.造成这种错解的原因是：只记一个形式，生搬硬套，不知变通；不认真看题中条件，漏掉“负号”而出错.

师：找到了错因，我们得到了什么

经验

或教训？

生2：教训有两个：①认真审题，不能看漏条件，特别是符号；②要理解概念定义中各字母的含义.只有掌握了定义中各字母的含义，才能正确运用，才能保证计算的正确性.

师：我们该怎样修改上述两种求解过程？

生3：解法一既要补充求x的范围，又要更改cosα的定义式；解法二只要修改cosα的定义式，做好后续计算即可.

点评：算理是计算的道理，是计算的依据.算理不清，解题瞎朦.本题的算理有二：①点P的坐标和cosα的符号；②cosα的定义式.前者确定x的范围，后者确定x的值.算理清楚，解题过程清楚，书写规范，看着就舒服.

正解一是由r的符号确定x的范围（符号）；正解二是由cosα的符号确定x的范围（符号），形异质同.正解一是由r的公式构建方程求出x的值；正解二是由cosα的定义式构建方程求出x的值.这里就有一个计算的顺序问题.先算谁再算谁，有时会造成计算量的增加，甚至算不出来.因此，每次计算，都要先做了计算预案，大致想一下算的顺序，做到心中有数.

通过学生的相互讨论、交流（特别是交流），让学生理解三角函数定义的本质，进而促使他们学会正确运用三角函数定义式.既要让学生明白错误的原因，又要让他们知晓如何避免出错，更要让他们学会正确计算.

二、方法、公式选择不当

学习数学离不开解題.而解题就必然要研究解题方法和解题策略.好的方法、策略往往能起到事半功倍的效果.如何才能在解题过程中选择高效、简便的方法呢？笔者认为，这离不开对数学知识的深入理解与熟练掌握，离不开对数学知识的灵活运用，更离不开解题后的反思与总结.

[教学片段二]

【例2】 已知α∈0，π2，β∈π2，π且sin（α+β）=5665，cosβ=-513，求sinα.

笔者投影了学生的三种解法，让学生思考、交流.

师：比较上面的三种解法，说说你们的看法和想法.

生1：解法一容易想到，先求得sinβ的值，然后将sin（α+β）

展开，代入sinβ、cosβ的值，再利用平方关系sin2α+cos2α=1

，构建方程组.

但是运算太繁杂，计算量巨大，耗费了大量时间和精力，也没有算出结果，一般情况下我们不想采用这种方法.

生2：解法二方法选择还是合理的，注意到已知角与待求角之间的关系.但是由于运用

sin（α+β）=5665

，求cos（α+β）时，数据太大，缺乏必要的运算技巧，采用硬算的方式，费时费力，且不敢做下去，比较可惜.

生3：解法三是将解法二进行下去，在求cos（α+β）时，巧妙地运用平方差公式，大大降低了计算的难度.

生4：最关键的是解题后的反思，学习完之后，要及时总结.求解三角计算问题，先观察已知角与待求角之间的关系.这是解决此类问题的常用方法.当然，选择了解法，只要有耐心和毅力，还是能算出来的.

点评：解题是数学学习中最重要的一部分.上面的几种解法，很好地体现了解题时计算途径的选择有可能影响解题的正常进行.当题目有多种计算途径时，要注意合理选取算法，以确保计算的顺利进行.

三角函数中存在的问题远不止这些，本文仅从三角求值这个角度，对常见的“会而不对，对而不全”的情况进行剖析，抛砖引玉，希望有更多的教师进行课堂教学实践，以做更进一步的研究.

（责任编辑 黄桂坚）