平面向量“数形”之美

魏智

[摘要]引入平面向量的概念后，几何图形与代数运算得以交融，图形语言的直观美与向量语言的简洁美融会贯通.中学生对平面向量之所以“望而生畏”往往是由于对平面向量的双属性理解不透.通过对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行深入分析，能让学生更好地理解平面向量的数形之美.

[关键词]平面向量；平行四边形；数形结合

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002502

引入平面向量后，全等和平行（平移）、相似、垂直等就可转化为向量的加减法、数乘向量、数量积等运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，实现“形”与“数”的交融，贯通图形语言的直观美与向量语言的简洁美.课标要求，通过向量知识与方法的学习，学生能理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学与物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.实际学习中，学生往往由于对向量的双属性特征理解不透，而畏于处理向量与几何的综合题目.本文对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行分析.

典型例题：已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

P1：|a+b|>1θ∈0，2π3

P2：|a+b|>1θ∈2π3，π

P3：|a-b|>1θ∈0，π3

P4：|a-b|>1θ∈π3，π

其中的真命题是.

分析：此题可运用公式|a|2=a2、数量积公式及简单的余弦函数知识得出答案.不过，稍加分析不难发现此题实际是一个以单位向量a、b为邻边的平行四边形模型，其实质是保持平行四边形的边长不变，研究角的变化.

如图1所示，不妨设|a+b|=|AC|，|a-b|=|DB|.

当|a+b|=1时，|AC|=|DC|=|AD|，即△ADC是等边三角形，

此时∠A=2π3；

|a+b|>1，意味着线段AC变长，此时θ变小，

即θ∈0，2π3

.

同理|a-b|=1时，|AD|=|AB|=|BD|，即△ABD是等边三角形，此时

∠A=

π3

；|a-b|>1，意味着线段BD变长，此时θ变大，即θ∈

π3，π

.

变式1：向量a，b满足：|a|=|b|=|a+b|=1，则|a-tb|（t∈R）的最小值是.

分析：在平行四边形ABCD中，|AB|=|AD|=

|AC|=1，∠DAC=∠BAC=60°，∠A=120°.由向量减法的三角形法则可知，向量a-tb的起点在

直线DA上，终点是点B.|a-tb|就是指B点与直线DA上任意

点之间的线段长度.

过点B引直线DA的垂线BH交DA于点H（如图2所示），

则|a-tb|的最小值就是垂线段DH的长，即32.

变式2：已知a、b、c是单位向量，且|a+b|=3，

则（a-c）·（b+c）的取值范围是.

分析：如图3所示，在菱形ABCD中，|AD|=|DC|=1，

|AC|=3.直角三角形△AMD中，cos∠DAM=32

，则∠DAM=30°，

所以∠A=60°，|DB|=1，

即|a-b|=1.

又（a-b）·c=|a-b|·|c|cosθ（θ是a-b与c的夹角），且-1≤cosθ≤1.

所以-1≤（a-b）·c≤1，

所以（a-c）·（b+c）=a·b+（a-b）·c-1=（a-b）·c-12，

所以（a-c）·（b+c）的取值范围是-32

12

.

变式3：若a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=

λ|a+b|，λ∈22，1

，则向量b与a-b夹角的取值范围是.

分析：在平行四边形ABCD中，当∠BAC从0°增大到180°时，|AC|从2|a|连续减小到0，同时|DB|从0连续增大到2|a|，当然∠ADB亦是连续变化.因此，只需计算λ=22

及λ=1的情况即可.

当λ=22时，∠D=90°，则∠ADB=45°，此时b与a-b的夹角是135°.

当λ=1时，∠D=60°，则∠ADB=30°，此时b與a-b的夹角是150°.

所以，b与a-b的夹角的取值范围是

3π4，5π6

.

变式4：已知向量a、b满足：cos〈a+b，a〉=12，

cos〈a+b，b〉=22，则|a||b|=.

分析：此题仍然是一个平行四边形模型，本质是保持角度

不变，研究边的相关问题.如图4所示，平行四边形ABCD中，AB=a，

|AD|=b，则a+b=AC

，所以∠DAC=π4，

∠BAC=π3，

在△ABC中，由正弦定理可得

|a||b|

=|AB||AC|=

sinπ4

sinπ3

=63

.

可以看到，基于向量的加减法、数乘向量和数量积

等运算，用向量语言来表述图形关系具有很强的简洁

性.比如向量式

a=λb中就蕴含一组平行关系；向量式a+b则指代一个平行四边形；而向量式（a+b）·（a-b）=0中，则包含一个菱形；向量式|a+b|=|a-b|则暗含一个矩形；向量式|a|=|b|=|a+b|，则蕴含一个内角是120°的菱形；向量式a·b=0中即可找到一个圆，又可找到矩形.看到如此精美的向量式，就需要看到它所蕴含的几何图形，如此便可将向量的简洁美与图形的直观美合二为一，灵活应用向量的双属性特征解决综合问题.

[参考文献]

[1]秉正.几何问题向量构筑——探析平面向量的几何意义[J].新高考（高一数学），2017（1）.

[2]薛红利.平面向量运算的几何意义在解题中的应用[J].数学学习与研究（教研版），2017（7）.

[3]王仁朋.平面向量数量积几何意义的一类应用[J].中学生数理化（学习研版），2017（6）.

（责任编辑黄桂坚）