陈银辉 范正鑫
[摘 要]提升课堂教学的有效性必须将精讲精练落到实处.一题多解是开拓学生思维和提高学生兴趣的有效方法，值得教师备课时关注.
[关键词]开拓思维；一题多解；精讲精练；有效课堂
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02002301
高中数学新课程标准指出：高中数学课程应该注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.通过解题活动来提高学生的思维能力是数学教学的重要途径.高三复习时间紧，课堂容量大，传统的做法是搞题海战术，其结果是学生苦不堪言，而且收效甚微.这就迫切要求教师在提高数学课堂的有效性上狠下功夫，做到精讲精练.下面以高三复习中的一道习题为例，谈谈如何开拓学生思维，拓宽学生解题思路，提高学生能力.
引例：已知x>0，y>0，1x+2y=1
，求x+2y的最小值.
解法一：x+2y=（x+2y）·1=（x+2y）（1x+2y）=
5+2yx+2xy
≥5+2
2yx×2xy
=9
.
当且仅当2yx
=2xy
，即x=y=3时等号成立.此时x+2y取最小值9.
评析：此处引用了“1”的附乘功能，进而利用基本不等式求最值.处理起来简洁明了，更便于学生掌握.
解法二：由
1x+2y=1
得到
y=2xx-1（x>1）.
∴x+2y=x+4xx-1
=x+4（x-1）+4x-1
=（x-1）+4x-1+
5≥2（x-1）×4x-1+5=9
.
当且仅当x-1=4x-1
，即x=y=3时等号成立.此时x+2y取最小值9.
评析：通过消元的方法，将二元问题转化为一元问题，然后结合不等式、分离常数等知识，把问题处理得自然流畅，非常简单.但是要注意不等式运用的条件，即“x>1”这一隐含的条件.
解法三：由
1x+2y=1
得到y=2xx-1（x>1）
.∴x+2y=x+4xx-1
=x2+3xx-1.
令f（x）=x2+3xx-1（x>1）
.
下面求函数f（x）的最小值.
f′（x）=x2-2x-3（x-1）2
=（x-3）（x+1）（x-1）2
.
令f′（x）=0得到x=3.
当x∈（1，3）时，f′（x）<0；当x∈（3，+∞）时，f′（x）>0.
所以當x=3时函数f（x）取得最小值.
又f（3）=9，故f（x）最小值为9，即x+2y的最小值为9.
评析：此处运用函数思想，将问题转化为求函数的最值，结合导数知识，发挥了导数求最值的功能，从而化难为易，体现了转化与化归思想在解题中的应用.
解法四：将1x+2y=1
变形为（x-1）（y-2）=2，（x>1，y>2），
则x+2y=（x-1）+2（y-2）+5≥22（x-1）（y-2）+5=9
.
当且仅当x-1=2（y-2），即x=y=3时等号成立.此时x+2y取最小值9.
评析：笔者在教学中发现，解法四学生能接受而且处理起来也比较方便，但是普遍反映想不到.笔者就顺水推舟，请大家观察：变形前
“1x+2y=1
”与变形后“
（x-1）（y-2）=2（x>1，y>2）”
这两个等式之间有什么规律？然后笔者又给出“2x+
8y=1”让学生自己完成变形.很快学生就得到了变形结果“
（x-2）（y-8）=16（x>2，y>8）”
.通过探究，学生终于发现了规律：
ax+by=k（a>0，b>0，k>0）
可以变形为
（x-ak）（y-bk）=abk2
，可以求mx+ny（m>0，n>0）这一类问题的最值.
本题的解法还有很多，比如可以令t=x+2y，则x=t-2y代入1x+2y=1
转化为二次函数问题，也可以根据条件“
x>0，y>0，1x+2y=1
”进行三角换元，令
1x=cos2θ，2y
=sin2θ，θ∈（0，π2）
，然后转化为三角函数最值问题等.
变式训练：
1.已知x>0，y>0，1x+9y=1，求x+y的最小值.
2.已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，求2x+y的最小值.
综上可知，学生是课堂学习的主体，学生的认知需要才是最重要的.教师在解题教学过程中需要不断启发学生探究和思考，发展学生思维能力，增强学生学习数学的兴趣，从而提高课堂教学的有效性.
（责任编辑 黄桂坚）
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