导数

陆烨

[摘 要]导数是高中数学中的重点知识，导数的应用非常广泛.利用导数解决切线问题、判断函数单调性、求函数最值和证明不等式是导数在高中数学中的常见应用.

[关键词]导数；数学问题；切线；单调性；不等式

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674（2017）32002702

导数是研究函数性质的重要工具，导数知识的应用为解决函数问题提供了一种新的方法，这种方法简单便捷，思路清晰.高考中關于导数的考点往往是高中数学中的重点和难点，需要引起学生的高度注意.

一、利用导数解决切线问题

分析：本题的目标是求切线m的方程，那么就需要一个点的坐标和切线的斜率，或者是两个点的坐标.根据本题的已知条件，显然可以得到切线的斜率和一个点的坐标.通过“m与直线x+4y-8=0垂直”这一条件可以得出m的斜率，然后根据所得到的斜率，通过导数的知识，易得切点的坐标，那么问题自然就迎刃而解了.

评注：在解答此类问题时需要掌握常见函数的求导方法.而复合函数的求导相对来说比较复杂，需要特别留意.还有一点，就是在说明函数单调性时，一定要说明单调性成立的区间，否则单调性就不能成立.

三、利用导数求函数最值

高中函数的最值问题是高考中的重要考点.通过导数法求函数最值是最简捷的方法之一.根据导数在驻点两侧的符号，可以判断该函数的驻点是极大值还是极小值.求出函数的极值之后再在对应区间判断是最大值或是最小值.

评注：对于此类最值问题，直接通过导数来求最值是比较好的方法，这种方法思路清晰，简洁明了，大大提高了解题的准确率.

四、利用导数证明不等式

证明不等式的方法有很多，而通过导数来证明不等式是其中非常重要的一种方法.导数在不等式证明中的应用，一般都是构造一个函数，将不等式问题转化为函数问题.通过构造的函数，求出函数的最值，应用公式或者恒等关系来解决所要证明的问题.

评注：本题的关键在于将不等式问题转化为函数问题，再通过求函数的导数，得到所求函数的最小值，从而通过函数来证明不等式.本题中所求的极小值一定要判断是否为最小值点.由于本例中在区间内只有一个极小值点，而且函数是连续函数，所以极小值点就是最小值点.

导数知识的应用范围不仅仅局限在这些方面.导数知识作为高中数学中的重点和难点，学生学习起来比较吃力，这就需要教师不断地引导学生，让学生合理而高效地学习导数知识.

（责任编辑 黄桂坚）