刘加霞
北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实质是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程教材教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。小学数学有哪些基本数量关系？这些数量关系的逻辑结构是什么？相对来说，小学生关于数量关系所形成的认知结构是什么，其关键“转折点”在哪儿，又如何突破呢？学生学习“倍”概念伊始的教学片段能为我们提供一个思考的支点。
师（出示下图）：看到这幅图，你能提出哪些数学问题？（全班100%的学生举起了手）
生1：一共有多少颗星星？
生2：蓝星比白星多多少颗？
师（用手势有意识地引导）：再拿蓝星和白星比一比，你还能提出什么数学问题？
生3：白星比蓝星少多少颗？
师：还能提出其他问题吗？（学生沉默。几秒钟后，只有一位学生举起了手）
生4：以“
学生为什么不主动地提出“蓝星是白星的几倍”呢？这个问题与其他问题之间有怎样的逻辑关系？小学生理解倍为什么很难？倍的本质是什么？倍与乘除法、分数以及比等概念之间的联系与区别是什么？要回答这些问题，首先要弄清楚小学数学中的基本数量关系及其所属的两种基本结构：加法结构与乘法结构。它们是小学生数学认知结构的基本组成。
一、概念视域下的加法结构与乘法结构
美国学者吉尔德·维格诺德从概念域视角提出，小学生的数学认知结构主要是加法结构和乘法结构，乘法结构是在加法结构基础上产生的高层次的数学认知结构。史宁中提出小学数学主要有加法模型和乘法模型的观点与此不谋而合。前者是从学生数学认知结构的角度提出的，后者是从数学内容结构的角度提出的，二者相辅相成。那么加法结构与乘法结构在小学阶段的主要内容有哪些？我们从数量关系角度来分析。
小学阶段的数量关系包括两类。一类是加减法关系，其对应的基本模型包括合并模型（部分量+部分量=总量）和比较模型（两个量之间，谁比谁多或谁比谁少的问题），后者也叫两个量的差比关系，其本质是一一对应思想。另一類是乘除法关系，主要包括四种基本模型：（1）部分是整体（或另一部分）的几分之几，用分数表示。（2）以其中一个量为“标准”，考查另一个量包含了几个“标准”，或者研究另一个量是“标准”的几分之几，用倍或分数表示。（3）要研究的两个或两个以上的量能够找到共同的“标准”，数出每个量各自包含了几个“标准”，定义每个量所包含“标准”的个数为比，用比表示这几个数量之间的比例关系。例如，配制柠檬蜂蜜水的三种成分之比为：柠檬汁∶蜂蜜∶水=1∶2∶100，无论一份（标准）是“勺”还是“5ml”，按照1∶2∶100所配制的液体，无论其量有多少，它的味道、口感都相同（浓度相同）。（4）现实生活中常见的比率关系。例如，总价÷数量=单价（或，总价∶数量=单价）。速度、工作效率以及密度等概念的产生与单价完全相同，都是两个不同类量相比导出的量。
实际上，前述数量关系分别属于加法结构与乘法结构。加法结构是一个概念域，是以加法概念、减法概念为核心的概念体系，是多种数学概念（被减数、减数、差、部分数、总数……）围绕加法概念、减法概念形成的联结网，主要涉及加减运算，对应着“已知部分、部分，求整体”与“已知整体、部分，求另一部分”，以及比较两个数量谁多谁少的问题。小学生在一、二年级的学习内容多数是加法结构，例如加减法的初步认识，两个数量的相差关系问题，连加、连减以及加减混合问题等。
乘法结构中的概念体系按照自然数、分数、比的顺序依次建立。在自然数范围内，首先认识乘法、除法，接着认识倍（刻画两个量之间的倍比关系），然后初步认识分数（刻画部分与整体之间的比率关系），最后进一步认识分数（刻画部分与整体之间或两个量之间的比率关系）以及比（既能刻画两个同类量之间的比例关系，又能刻画两个不同类量之间的比率关系。前者是源，后者是流）。
从解决现实问题的视角来看，吉尔德·维格诺德认为，乘法结构主要包括三个子结构：度量同构、度量的积以及复合比例。度量同构由两个测量空间之间的简单正比例关系组成，主要指价格、速度、按比例分配等问题。度量的积是由两个测量空间的笛卡尔组合形成的第三个测量空间，主要指求面积、体积及其他相关的量的问题，还有搭配问题。例如，“米×米=平方米”“立方米÷平方米=米”“男人个数×女人个数=男女舞伴的组合数”。复合比例与度量的积类似，即第三个测量空间与其他两个不同的测量空间成比例。例如，“农场里6头牛在14天内共产奶1932升，每头牛每天产奶多少升？”复合比例问题在当下小学数学课程中并不多见。
二、“倍”是加法结构到乘法结构的转折点
从数学发展以及学生认知发展的角度看，加法结构是学生认知结构中最基本的内容，尤其是部分与整体之间的加减问题，其次是两个量之间比多少的问题。因为学生有丰富的生活经验及来自直觉和本能的一一对应思想，所以掌握这些基本内容是比较容易的。学生认知中的加法结构转变为乘法结构时，哪个数学概念是承接点，哪个数学概念是转折点呢？
初步认识乘法是从“求几个相同加数的和”这一问题出发的，虽然乘法是一种“新”运算，但这时的乘法仍然是合并或累加的过程，是特殊的加法，可以说是加法结构的延续。基于此，乘、除法的初步认识是加法结构与乘法结构的承接点，而不是转折点。
倍的产生不再涉及合并、累加以及比较谁多谁少的问题，而是着眼于研究新的数量关系——倍比关系或比例关系，需要彻底打破加法结构的原有认知基础，建立真正的乘法结构。基于此，倍是从加法结构到乘法结构的转折点。认知结构的转变不是先天地存在于学生头脑中，所以小学生不会主动地提出有关倍的问题，学习倍也会存在比较大的困难。如前述案例，在比较两个数量时，有92%的学生都不能自发、主动地提出关于倍的问题，个别学生宁可提出“谁比谁多几份（倍）”也不提出“谁是谁的几倍”，这也说明此时学生头脑中仍以加法结构为主。
小学生理解倍之所以困难，除前述所谈倍是认知结构的转折点外，还有其他因素影响学生掌握倍概念以及解决相关问题。例如，日常语言中的“倍”与数学的“倍”在意义与用法上稍有区别，日常生活中说到“倍”好像就是增加、扩大的意思，常用的词汇是倍增、倍加等。《现代汉语词典》对“倍”的解释与数学上也不太相同：“跟原数相等的数，某数的几倍就是用几乘某数”。这里侧重用乘法求“几倍数”，忽视了倍刻画的是两个量之间的数量关系，相关问题的解决既可能用乘法，也可能用除法，而不是见倍就乘。此外，漢语语言的歧义也给学生学习倍带来一定的困难。例如，A比B多1倍，也就是A是B的2倍，学生容易把“多1倍”等同于“是1倍”。另外，倍与其他概念混淆也会导致学生在理解上出现困难。例如“倍数”与“倍”是两个概念，二者都与乘法和除法运算有关，倍数是在自然数范围内产生的概念，倍则可以超越自然数的范围。倍数与因数是一对建立在整除基础上的具有相对性的概念，表示能被某个自然数整除的数。例如，15=5×3，15就是5和3的倍数，5和3都是15的因数。倍表示的是两个量的倍比关系，结果不一定非是自然数，也可以是分数和小数。
倍是后继学习较复杂的比例关系的认知基础，理解和掌握倍对学习数学极为重要，是学生形成乘法结构的核心抓手。
三、“份”是认识乘法、除法、倍、分数以及比的基础和关键
研究量之间的比例（率）关系时，倍是基础，可以贯穿分数、比等内容的始终，只不过表达上有种“约定俗成”：当商大于1时，习惯说被除数是除数的多少倍;当商小于1时，习惯说被除数是除数的几分之几，并用分数来表达;当商等于1时，被除数与除数相等（要比较的两个量相等），叫“同样多”或者“1倍”。六年级学生在理解并掌握了比之后，就用比来表示两个数量之间的比率关系，而不再用倍或分数来表示，否则会增加学生的认知负荷，降低学生问题解决的效率。
倍、分数、比以及除法是内涵相互关联的四个概念，是乘法结构的基本内容。前三个概念用来刻画两个量之间的比率、比例关系，三者都以除法运算为基础，并通过除法运算算出具体结果。四个概念之间具有相同的基本性质（商不变的性质、分数或比的基本性质），它们有共同的认知基础——份。
帮助学生建立乘法结构的认知基础是“份”，份是学习乘法、除法、倍、分数、比等概念以及解决相关问题的基本要素。例如，倍就是以其中一个量为比较标准，将其作为“1份”，另一个量中包含几个这样的“1份”，就是标准的几倍。在日常教学中，用“几个这样的一份（动手圈画出1份、几份，同时用语言描述）”来认识倍，比用“几个几”更好。再如，分数的含义与倍基本相同，只不过习惯上不够“1份”的常用分数表示。理解分数仍然离不开“份”，先通过平均分产生更小的“份”，再研究“更小份”之间的比率关系。比的含义亦如此，要比较的两个量需要有相同的“份”做单位，这个“份”也是比较的标准。
“份”不仅是理解上述概念的基础，更是解决相关问题的关键。例如，与倍相关的基本问题、分数（百分数）的问题以及按比例分配等问题的解决，都需要“份”作为推理、计算的基础。
帮助学生建构清晰、稳定的乘法结构是小学阶段的重要教育目标，是一个长期、复杂而艰辛的过程。基于此，教师需要明确乘法结构的内涵，重视倍的教学，以“份”“倍”贯穿分数、比及按比例分配问题学习的全过程。
助理编辑 刘佳
