孔凡哲
教育学博士，中南民族大学教育学院副院长、二级教授、博士生导师，中南民族大学教育硕士学位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全国高考数学命题专家，国家义务教育数学课程标准研制组核心成员，高中数学课程标准研制组成员，教育部中学教师专业标准研制组成员、义务教育质量监测专家、教育现代化县级示范区评估专家、哲学社会科学重大重点项目评审专家;主持完成国家、省部级以上科研项目12项;出版专著47部;先后获得教育部第七届高等学校科学研究（人文社会科学）优秀成果奖著作奖、教育部第四届全国教育科学优秀成果奖著作奖、教育部第五届全国教育科学优秀成果奖著作奖等奖项。
数学抽象是一种特殊的抽象，其特殊性表现为：数学抽象的对象是“空间形式和数量关系”;数学抽象的对象既可以是现实世界中的空间形式和数量关系，也可以是数学思维中的空间形式和数量关系。数学抽象素养是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，具体表现为：能从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，能从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。
培养学生的数学抽象素养，必须从数学抽象素养的特点出发，结合相关的数学课程内容有针对性地进行。
一、把握数学抽象的层次性，还原数学抽象过程，培养学生的数学抽象素养
数学教学中，学生亲身经历数学抽象的具体过程，积淀数学抽象的直接经验，接受数学抽象的思维训练，才能提升数学抽象思维水平，养成运用数学抽象思维主动思考问题、分析解决问题的习惯，逐步生成数学抽象素养。
第一，日常数学课堂教学中，要长期坚持渗透数学抽象思想。学生的数学抽象素养不是简单经历几次抽象过程就能够形成的，需要在日常课堂教学中长期坚持、逐级渗透，不宜操之过急。
第二，相同领域课堂教学中，需要反复渗透数学抽象过程，保持不同领域之间的同步性。例如，在“数与代数”领域“认识数”与“学习多位数的计算”时，都可以用小棒与计数器帮助学生实现数学抽象过程。“数的认识”是在静态层面上的数学抽象过程，“多位数的计算”是在动态层面上进行的数学抽象过程。同时，学习相同领域数学知识时，多次反复经历数学抽象过程，也有助于学生实现更高层次的抽象。
第三，在不同数学领域的课堂教学时，需要根据各领域特点选择适宜的方法实现数学抽象过程，体现不同学科领域的各自属性。例如，学习“平面图形的认识”时，可以通过用立体图形的一个面（沾上颜色印在纸上）印、彩描棱（边），用投影将立体图形投在墙上，或者用刀切胡萝卜等方式，帮助学生经历从立体图形到平面图形的抽象过程。这种数学抽象过程与学习计算时的抽象过程是不同的，但“抽象了的东西源于现实世界，是人抽象出来的”却是相同的。
第四，数学课堂教学中的数学抽象过程要具有层次性。一节数学课要帮助学生经历数学抽象过程，但这种抽象过程不能仅停留在一个层面，要循序渐进、环环相扣，不同层次的数学抽象过程之间既要有联系，也要有区别，这样才有利于促进学生的抽象素养发展。
二、在获得数学概念和规则中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
数学概念和数学规则都是通过抽象得到的。学生学习数学不仅仅是获得数学概念、数学规则等事实性的知识和技能，让学生经历数学概念、数学规则等抽象过程，还可以培养学生的数学抽象素养。
【案例1】“两位数加一位数的进位加法”的“十位”的抽象：27+5=？
如图1，27表示“两盒鸡蛋+一盒不满的鸡蛋”，另有5个鸡蛋。一共有几个鸡蛋呢？
借助生活经验，学生很自然地将5个鸡蛋中的3个拿出来，填补在第三盒鸡蛋的3个空位上，即将空位补齐，凑成一整盒，剩余2个鸡蛋。当然，也有学生会从7个中拿出5个，与5个散装的鸡蛋凑成一盒，剩余2个散的鸡蛋。这就是将5分成3与2的和，而3与27凑成30，因而结果是32;或者将7分成5与2的和，而5与5凑成10，因而，结果是32。这是最朴素的“凑十进位”，这里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”，属于典型的借助“实物”的直接抽象。
初学“两位数加一位数”时，尽管大部分学生已经知道“个位数字、十位数字分别相加”，但他们并不知道算理——为什么必须这样计算。让学生亲身经历“实物抽象（用实物摆出27+5）→半符号抽象（理解算式27+5的意义）→符号抽象（用竖式计算27+5）”的过程，即使是对于那些已经学过“两位数加一位数的进位加法”的学生来說，也是一次温习的过程，是一次经历数学抽象、培养数学抽象素养的过程。
三、在提出数学命题和模型中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
【案例2】一个两位数自乘规律的发现
个位为5的两位数自相乘得到的数，一定是个位为5、十位为2、百位与千位是这个两位数的十位数字与其大1的数字的积。比如，75×75，7与比其大1的数字8之积是56，于是自乘的结果是5625。
其课堂教学设计是：
（1）计算15×15、25×25，你能发现什么规律？
（2）你发现的规律对其他类似问题成立吗？比如，用45×45验证你的猜想。
（3）你发现的规律对更一般的形式，比如◆5×◆5成立吗？这里的◆是1，2，3，…，9中的某个数字。
（4）对于任意一个两位数◆5，如何验证你的发现总是成立呢？
此时，继续采用数字或者自己选定的符号“◆”，就无法与更多的人交流，必须采用字母，比如，用a表示十位上的数字，此时，这个两位数可表示为简单代数式10a+5，于是，◆5×◆5就变成了（10a+5）×（10a+5）。能由此验证你的发现吗？
上述案例设计的真正意图在于，在巩固“两位数乘两位数”基本技能的过程中，让学生再次经历归纳、猜测的思维过程、推理过程，获得“个案1、…、个案n→抽象归纳出共性规律，猜测其普适性→验证自己的猜测→用符号表达一般结论”的直接经验和体验，经历一次“数学家式”的思考，感受智慧产生的过程，体验创新的快乐，进而真正体会从归纳猜想到演绎论证的过程，感受字母表示数的魅力，发展数学抽象素养。
四、在形成数学方法与思想中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
两位数加（减）一位数是小学数学一年级下册最基础、最重要的单元，常规的复习方法是将相关知识杂乱无章地堆砌在一起（如图2）。这种方式能让学生获得相对系统的知识结构，但他们体会不出其中的规律，感受不出其中所蕴含的思想方法。
将相关内容按照图3的方式进行复习：先计算各个算式，你发现了什么规律？
学生独立完成图3的各式，就会发现，“□1-6=？”在方法的本质上等价于“11-6=？”，从第二行到第九行的所有算式，都可以归结为第一个算式“11-6=？”，也就是只需要拿出一个整十，用它减6，而其他的整十不动即可。换句话说，“□1-6=？”本质上等价于“11-6=5”，是11=6+5的逆运算。
进行完图3的独立计算、合作交流、梳理规律之后，请学生独立完成图4（先想一想，再动手做），学生就会发现图4中的这组算式本质上等价于“13-7=6”，只要计算出一个算式，其余算式都可以迅速完成。
同样地，在小学一年级上册“十以内的加法”复习课中，让学生独立填写图5并寻找规律，学生都能印证a+b=b+a规律的正确性，更重要的是能体会出数学规律的美。
通过具体算式抽象出共性规律，不仅能帮助一年级学生提高计算技能、计算能力，而且能引导他们在经历数学思想方法的抽象过程中积淀数学抽象的直接经验，发展数学抽象素养。
五、在认识数学结构与体系中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
在小学数学图形面积公式的单元教学中，教师组织学生开展如图6所示的活动：
1.抽象过程
规定边长为单位长度1的正方形的面积为一个面积单位，那么，对于长为a、宽为b的长方形（矩形），以面积单位去度量，这个长方形可以被b行、每行a个的面积单位所覆盖，一共有ab个面积单位，从而，长为a、宽为b的长方形的面积为S=ab。
对于底为a、高为h的平行四边形，采用切割的方法，沿着高将平行四边形分割为两块，将割下的三角形块平移到右侧，使三角形的斜边与平行四边形的另一条斜边重合。此时，底为a、高为h的平行四边形就变成了长为a、宽（高）为b的长方形，而且其面积没有发生改变，从而，底为a、高为h的平行四边形的面积为S=ah。
对于底为a、高为h的三角形，将三角形旋转360o，使得旋转前后的底边相互平行，将旋转前后的两个三角形拼在一起，得到一个底为a、高为h的平行四边形，它的面积为S=ah。从而，底为a、高为h的三角形的面积为S=ah÷2。
对于上底为a、下底为b、高为h的等腰梯形，将其旋转360o，使得旋转前后的底边相互平行，将旋转前后的两个等腰梯形拼在一起，得到一个底为a+b、高为h的平行四边形，它的面积是S=（a+b）h。从而，上底为a、下底为b、高为h的等腰梯形的面积为S=（a+b）h÷2。
2.类化过程
作为上述过程的逆过程，采用动态软件体现图形面积之间的变化，可以充分体现平面图形面积之间的关联，再现数学抽象的逆过程（如图7）。
对于上底为a、下底为b、高为h的等腰梯形，變化下底b使其等于上底a，同时，变化高h使其等于上底a，此时，等腰梯形变成边长为a的正方形，从而面积S=（a+b）h÷2=a2。
对于上底为a、下底为b、高为h的等腰梯形，变化腰使得两条腰垂直于底（此时，下底b等于上底a），等腰梯形变成长为a、宽为b与高h相等的长方形，从而面积S=（a+b）h÷2=ab。
对于上底为a、下底为b、高为h的等腰梯形，变化下底b使其等于0，此时，等腰梯形变成底为a、高为h的三角形，从而面积S=（a+b）h÷2=ah÷2。对于半径为r的圆，将其分割为若干个大小相等的小扇形，每个小扇形可以看作是一个底为圆弧、高为r的“三角形”，所有“三角形”的底围成一个圆，其周长为[2πr]，从而，圆的面积为S=a1r÷2+a2r÷2+…+anr÷2=（a1+a2+…+an）r÷2=[πr2]。
对于上底为a、下底为b、高为h的等腰梯形，变化下底b使其等于上底a，此时，等腰梯形变成底为a、高为h的平行四边形，从而面积S=（a+b）h÷2=ah。
在上述过程中，学生不仅能够系统掌握平面图形的面积公式，认识图形面积的结构，而且经历了一次再抽象和类化的过程，发展了数学抽象素养。
责任编辑 姜楚华
