罗素还进一步论述了关于命题函数的分支类型论，并引进了重要的“约化公理”，约化公理对任何层次的一个命题都确认存在着一个等价的0型命题函数。逻辑主义在将数学奠基于逻辑方面的巨大努力被许多数学家赞许并接受，但也遭到了严厉的批评。约化公理被指出是非逻辑公理而不符合将数学化归为逻辑的初衷，按照类型论建立数学开展起来极为复杂。事实上，罗素和怀特黑德的体系一直是未完成的，在很多细节上是不清楚的。尽管如此，逻辑主义以纯粹符号的形式实现逻辑的彻底公理化，特别是罗素、怀特黑德《数学原理》第二、三卷提出的“关系算术理论”，建立了完整的命题演算与谓词演算系统，这一切构成了对现代数理逻辑的重大贡献。
