傅里叶变换是将时域数据转换成频域数据。例如周期为25的正弦波可以用下面的函数来表示：y=sin(2π*f*x)=sin(50πx)
如果以 150Hz 的采样频率来采样，也就是在 0 到 1 之间有 150 个采样点，那么其时间列表，即公式中的 x 的列表如下：
[0. 0.00666667 0.01333333 0.02 0.02666667 0.033333330.04 0.04666667 0.05333333 0.06 0.06666667 0.07333333…. 省略中间数据0.88 0.88666667 0.89333333 0.9 0.90666667 0.913333330.92 0.92666667 0.93333333 0.94 0.94666667 0.953333330.96 0.96666667 0.97333333 0.98 0.98666667 0.99333333]
得到的输出列表，即 y 的列表如下：
[ 0.00000000e+00 8.66025404e-01 8.66025404e-01 1.22464680e-16-8.66025404e-01 -8.66025404e-01 -2.44929360e-16 8.66025404e-01…. 省略中间数据2.25434048e-14 8.66025404e-01 8.66025404e-01 -1.17627991e-14-8.66025404e-01 -8.66025404e-01]
将这些数据画成一个图，就如图 1 所示。
图 1 y=sin(50πx)的时域图
如何将它们转换成频域图呢？很简单，只需将 y 输入到 np.fft.fft() 函数即可。下面是实现的代码：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom numpy.fft import fft,ifft# x是时域值# y是频域值# time_span是采样时长def show(x, ft, time_span = 5): n = len(x) # 采样点个数 interval = time_span / n frequency = np.arange(n / 2) / (n * interval) nfft = abs(ft[range(int(n / 2))] / n ) plt.plot(frequency, nfft, 'red') plt.xlabel('Freq (Hz)'), plt.ylabel('Amp. Spectrum') #plt.show() plt.savefig("fftv2_1_1.png")time = np.arange(0, 5, .005)x = np.sin(2 * np.pi * 10 * time) # 时域信号y = np.fft.fft(x) # 频域信号show(x, y, 5)运行该脚本，得到的输出图片如图 2 所示。
图 2 y=sin(10πx)的频域图
如果输入信号中带有两个不同幅度的正弦信号，例如输入信号为：
y=sin(2*10πx)+3sin(2*50πx)它们的时域图如图 3 所示。
图 3 y=sin(2*10πx)+3sin(2*50πx)的时域图
那么它们的傅里叶变换代码如下：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom numpy.fft import fft, ifft# x是时域值# y是频域值# time_span是采样时长def show(x, ft, time_span = 5): n = len(x) # 采样点个数 interval = time_span / n frequency = np.arange(n / 2) / (n * interval) nfft = abs(ft[range(int(n / 2))] / n ) plt.plot(frequency, nfft, 'red') plt.xlabel('Freq (Hz)'), plt.ylabel('Amp. Spectrum') #plt.show() plt.savefig("fftv2_1_2.png")time = np.arange(0, 5, .0005)x0 = np.sin(2 * np.pi * 10 * time) # 10HZx1 = 3 * np.sin(2 * np.pi * 50 * time) # 30HZx = x0 + x1 # 时域信号y = np.fft.fft(x) # 频域信号show(x, y, 5)运行该脚本，得到的输出图片如图 4 所示。
图 4 y=sin(2*10πx)+3sin(2*50πx)的频域图
反变换也很简单，下面便是一个反变换的例子代码：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom numpy.fft import fft,ifft# 在0到2π之间取50个点x = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)wave = np.cos(x) # 时域的值transformed=np.fft.fft(wave) # 傅里叶变换reversed_data = np.fft.ifft(transformed) # 反变换plt.plot(x, wave, 'r')# 反变换出来的值+0.2，以免和变换之前的值重合plt.plot(x, reversed_data.real+0.2, 'b')plt.savefig("fft4.png")运行该脚本，可以得到如图 5 所示的时域图，其中上面那条曲线是傅里叶变换后再傅里叶反变换并向上移动 0.2 的曲线；下面那条曲线是 y=cos(x) 的曲线。可以发现傅里叶变换后再次反变换得到的曲线近似于输入的曲线。
图 5 y=cos(x)和y=ifft(fft(cos(x)))的时域图
