大家好！感谢阅读本鸡的拙作，欢迎关注。
本文专为初学或者复习《复变函数》、《复分析》的选手设计。本鸡很快会推出相应的视频版。
先把两句话放在这里。“求复导数，沿任何方向都相同，重要的是，特别地，沿x轴方向与沿y方向相同”“雅可比矩阵主对角元相同，副对角元相反”。
下面解释，想办法让你理解并且同意这两句话。
假设你有一个自变量，写成代数形式，就是实部+i虚部
自变量的代数形式
现在定义一个复变函数w=f（z），也写成代数形式
复变函数的代数形式
根据导数的定义，完全类似于实变量函数的导数定义，就是
复导数定义
意思就是函数值的变化量除以自变量的变化量的极限。
重点来了：因为复数可以表示为平面的点，所以自变量这个复数，其改变方式有无穷多种。特别地，可以沿水平方向（就是固定y不变，沿着x轴），也可以沿垂直方向（就是固定x，沿y轴），做一个微小的改变。（为避免困难，不用微分、微商这样的词）。现在要想导数存在，就是上面的极限存在，就得不论自变量任何改变方式，得到的结果必须相同。
现在，按照导数定义里面的极限，考虑两个特殊的情况，别忘了，结果必须相同。再回忆一下偏导数的定义，就知道
两种方式
这两个特别的方式得到的都是要求的复导数。并且，两个结果的实部和虚部必须相同，否则极限不可能存在。因此，两个结果的实部和虚部互换的话，一共有四种写法。赶紧写一下吧。这样，你理解了第一句话。写几次，你就熟练了。根本不需要背导数公式，现推肯定赶趟。当然，如果你仔细观察上面的结果，第一个就是函数的实部对自变量实部求导+i*虚部对x求导。也可以记住。
实部和虚部比较，就得到所谓的柯西黎曼方程
函数解析的一个必要条件，就是柯西-黎曼方程。
为了记住柯西黎曼方程，用下面的套路。记忆雅可比矩阵元素的规律。
所谓雅可比矩阵，形如
复变函数的雅可比矩阵
考虑柯西黎曼方程，其实形式上，相当于
这就是第二句话“雅可比矩阵主对角元素相同，副对角元素相反”。只要你能正确写出雅可比矩阵。
本文主要话题到此结束。
多说几句。本科水平的《复变》其实应当叫做《单复变函数》。因为一般教材从不讨论自变量是两个复数的情况，也不讨论函数值是复向量的情况。这些内容属于多复变。另外由于学时的限制，本科复变一般只讲分析，不讲几何，这就丧失了复变的美。
学完初等单复变之后，可以考虑学习复几何。数学硕士可以考虑继续学习复流形，或者多复变。物理和工科的应当根据需要，迅速进入复变的应用，积分变换，以及学习数理方程。
一些本鸡常读的课本
数学系多用钟玉泉的《复变函数论》，我看这本花时间最多
saff的《复分析基础及工程应用》解释更详细，更形象（可以换成J.B.Brown的书）
needham的《复分析-可视化方法》观点独特，作者解释原理的方式，虽然有点墨迹，但是太深刻犀利，简直是奇葩。有时间可以看看，看懂了绝对是享受。据作者自己说，他用的是牛顿的方式。
工科和物理的，应用需要时，可以参考拉夫连季耶夫的《复变函数论方法》，流体，传输线等等都可以找到
数学系的学过测度论初步的，可以看rudin的大作《实分析与复分析》（这种水平的翻译版就很难搞到高质量的了）
最后，龚昇先生的大作《简明复分析》，也很值得看，特别是值得高手看
