什么是描述函数法?

[拼音]：miaoshu hanshufa

[外文]：describing function method

从频率域的角度研究非线性控制系统的稳定性的一种等效线性化方法。在苏联文献中，常把这种方法称为谐波平衡法。描述函数法是把线性控制理论中经典频率域方法应用于非线性系统研究的一种推广，只适用于非线性程度较低的系统。对于非线性程度高的系统，应用描述函数法可能导致错误的结论。在工程技术领域中，许多实际的控制系统都能满足描述函数法的限制条件，因而也都能应用这种方法。

对于一个特性不随时间变化的非线性元件，输入是正弦变化并不保证输出也是正弦变化，但可保证输出必然是一个周期函数，而且其周期与输入信号的周期相同。将输入正弦函数表示为x(t)＝Xsinωt,同时把输出周期函数y(t)展开成傅里叶级数

则非线性元件的描述函数规定为，由输出的一次谐波分量对输入正弦函数的振幅之比为模和它们的相位之差为相角组成的一个复函数，其表达式为

式中X是正弦输入的振幅,Y₁是输出的一次谐波分量的振幅,φ₁是输出的一次谐波分量与正弦输入的相位差。因此，一个非线性元件就可采用由描述函数表征的一个线性元件来等效。这种等效的近似性实质上就是，在使非线性元件与其等效线性元件的输出偏差均方值为极小意义下的最优逼近。描述函数 N与输入正弦函数的角频率ω无关，为输入正弦函数振幅X的一个复函数。上表列出一些典型的非线性特性的描述函数。

描述函数的一个主要用途是分析非线性控制系统的稳定性，特别是预测系统的自激振荡（周期运动）。对于一类由线性部件和非线性部件构成的闭环控制系统(图1)，假定其线性部分为最小相位系统并采用频率响应 G（jω）表示它的特性,而用描述函数N表示系统中非线性特性的近似等效特性。那么在同一个复数平面上作出G（jω） 当ω 由0变化到∞的轨迹和-1/N当X由0变化到∞的轨迹后，就可从这两个轨迹的相互分布关系得到判断此类闭环控制系统的稳定性的一些判据。

（1）稳定和不稳定判据 如果-1/N 轨迹没有被G(jω)轨迹所包围,则闭环控制系统是稳定的。而当-1/N 轨迹被 G（jω）轨迹所包围时，闭环控制系统是不稳定的。在前一情况下，系统不会出现自激振荡；在后一情况下，系统输出将增加到安全装置所限定的极限值。

（2）自激振荡判据 如果-1/N 轨迹和G（jω）轨迹相交，则闭环系统的输出可能出现自激振荡。这种自激振荡一般不是正弦的，其角频率值和振幅值分别为交点处G（jω）轨迹上的ω值和-1/N轨迹上的X 值。但是，并非所有交点都能构成稳定自激振荡。只有-1/N轨迹的进行方向是由 G（jω）的包围区过渡到非包围区的那些交点（如图2的B点）才能构成稳定自激振荡。

描述函数法对于非线性控制系统的综合，也提供了方便的工具。通过引入适当的校正装置可以改变系统线性部分频率响应G（jω）轨迹的形状，从而使闭环控制系统中不出现自激振荡并确保较好的过渡过程性能。

描述函数法在分析非线性控制系统中的有效性和准确度，主要取决于非线性元件输出周期函数中的高次谐波分量在通过线性部分后被衰减的程度。高阶线性系统通常具有较好的低通滤波特性，因此用这个方法分析非线性系统时，线性部分为高阶时的分析准确度往往比线性部分为低阶时好得多。对于判断自激振荡，则当-1/N 轨迹和G（jω）轨迹接近于垂直相交时，描述函数法的分析准确度较高。

参考书目

D.P.Atherton,Nonlinear Control Engineering, Van North and Reinhold, London, 1975.

参考文章

应用描述函数法分析非线性系统时，元件和系统必须满足哪些条件？测控技术