什么是离散傅里叶变换?

[拼音]：lisan Fuliye bianhuan

[外文]：discrete Fourier transform

对于时间连续信号，可利用傅里叶变换获得其频谱函数；或由其频谱函数通过反变换得到原时间函数。用公式表示为

(1)

式中

在离散信号处理中，应将傅里叶变换的积分形式改变为离散傅里叶变换的求和形式，把连续傅里叶变换的积分区间化成离散傅里叶变换的求和区间。对时域的有限区间0～t_L内的信号x(t)按等时间间隔T 抽样，得到N=t_L/T个抽样值x(nT)，n=0，1，2，…，N-1。在频域的有限带宽0～f_s内的频谱函数x(jω)按等频域间隔墹f＝1/t_L抽样，即墹f=1/NT=f_s/N，得到N个频率抽样值X(jk墹f)，k=0，1，2，…，N-1。将x(nT)记作x(n)，称为时间序列；并将X（jk墹f）记作X（k），称为频谱序列。又知


，把这些关系代入傅里叶变换式(1)，将其离散化，并考虑到时域和频域上均为有限，即得到离散傅里叶变换对公式

(2)

由上式可知，当给定时域信号序列x(n)的长度为N时，计算频域上的一个抽样值X(k)，就需要进行N次复数乘法运算和N-1次复数加法运算;要得到X(k)的N个抽样值，就需要进行N²次复数乘法运算和N(N-1)次复数加法运算。

从物理意义上看，非周期时间信号的频谱是连续的和非周期的。时间信号抽样之后成为离散时间信号，它的频谱就变为周期性的连续谱。对频谱函数进行抽样，则对应的时间函数就变为周期性的连续信号。同时对时间信号和相应的频谱函数进行抽样，则得到离散的和周期的时间信号函数和频谱函数，这样就构成了上述离散傅里叶变换对。

离散傅里叶变换除有周期性之外，还具有一般线性变换的性质。

（1）线性：若组合信号为几个时域信号之和，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换之和。

（2）选择性：离散傅里叶变换的算法可以等效为一个线性系统的作用。式(2)中的频域变换值X(k)代表不同频率的谱线输出，这意味着离散傅里叶变换算法对频率具有选择性。

（3）循环移位性：有限长度的序列x(n)可以扩展为周期序列慜(n)，而x(n)可以看作是周期序列中主值区间内的主值序列，它的各个抽样序列好像放在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于它在圆周上旋转，由此可依次重复地看到周期序列慜(n)。这种序列的移位称为循环移位，或圆周移位。这种性质对计算循环褶积和循环相关很有用。

（4）其他：如序列的离散傅里叶变换对称性和循环褶积性（即圆周褶积性）等。

离散傅里叶变换有与傅里叶变换相类似的作用和性质，在离散信号分析和数字系统综合中占有极其重要的地位。它不仅建立了离散时域与离散频域之间的联系，而且由于它存在周期性，还兼有连续时域中傅里叶级数的作用，与离散傅里叶级数有着密切联系。在计算速度方面，已研究出各种快速计算的算法，使离散傅里叶变换的应用更为普遍，在实现各种数字信号处理系统中起着核心的作用。例如，通过计算信号序列的离散傅里叶变换可以直接分析它的数字频谱；在有限冲激响应数字滤波器的设计中，要从冲激响应h(n)求频率抽样值H(k)，以及进行它们之间的反运算等。

参考书目

何振亚：《数字信号处理的理论与应用》上册，人民邮电出版社，北京，1983。A.V. Oppenheim， R. W. Schafer， Digital Signal Processing，Prentice Hall， Englewood Cliffs， New Jersey，1975.