什么是人口系统数学模型?

[拼音]：renkou xitong shuxue moxing

[外文]：mathematical models of population system

用来描述人口系统中人的出生、死亡和迁移随时间变化的情况，以及它们之间定量关系的数学方程式或方程组，又称人口模型。人口控制论和人口系统工程的首要任务是建立人口系统的数学模型。根据人口系统的反馈机制，明确区分状态变量、控制变量和观测量，可以建立人口系统的闭环控制模型。模型是对实体的近似描述，如果模型精度满足所研究问题的要求，模型便被认为是准确的。用中国人口统计数据校验有关人口系统数学模型时，其近期精度达到0.1％左右,这表明中国人口模型的精度很高。

20世纪30年代A.J.洛特卡建立了人口的定常积分方程模型。40年代莱斯利建立了差分方程组模型。60年代又出现了弗尔斯特的偏微分方程模型。70年代波拉德在莱斯利模型基础上提出了随机模型。建立完善的人口系统闭环控制模型，则是最近几年的事。中国控制论学者在这项工作中取得了重要成果。

人口模型分为两类，一类是确定性模型，另一类是随机模型。如果按年龄和时间是连续量还是离散量，又可将人口模型分为连续模型和离散模型两种。连续模型是由偏微分方程描述的带边界控制的分布参数系统，离散模型是由差分方程组描述的双线性系统。离散模型可用离散化方法从连续模型得到。连续模型便于理论分析，而离散模型适合于计算机仿真。

两个自变量的函数N(ɑ，t)代表t时刻一切年龄小于a的人口总数，称为人口函数。P(ɑ，t＝媆N(ɑ，t)/媆a,称为人口密度函数。则人口系统连续模型为

(1)

式中μ(α，t)是相对死亡率函数，g(α，t)为人口迁移率函数，嗘(t)为绝对出生率函数,U(t)为相对出生率函数，P₀(α)为初始年龄密度函数。在(1)中唯一能控制的是出生率嗘(t),它是系统的控制变量。它出现在系统的边界条件中，所以模型 (1)又称为边界控制的分布参数系统。这里的嗘(t)并不与实时人口状态P(α，t)发生联系，所以这种控制又称为开环控制。

实际上，嗘(t)应与 t时刻的人口状态，特别是与处在生育期内妇女的生育水平有密切关系。考虑到这一特点又有如下的人口闭环控制模型：

(2)

式中β(t)称作妇女总和生育率,它是人口系统的控制变量。中国人口控制和计划生育是靠控制β(t)来进行的。[α₁，α₂]称为妇女育龄区间,a₁为最小生育年龄，α₂为最高生育年龄，K(α，t)为女性比例函数，h(α，t)为妇女生育模式，满足归一化条件：

在模型(2)中,嗘(t)与t时刻的人口状态P(α，t)建立了直接关系，这在控制论中称为实时状态反馈，这种控制形式称为闭环控制（见闭环控制系统）。

如果用x₀(t),x₁(t),x₂(t),…,x_m(t)表示t时刻的年龄构成,其中x_i(t)表示t年代年满i周岁但不到i＋1周岁的人口数，写成向量形式

则离散人口模型可写成

(3)

式中H(t)，B(t)为相应维数的矩阵，

式中


称为按龄死亡率,m为人类能活到的最高年龄;





称为婴儿死亡率；K_i（t）为女性比例函数；h_i（t）为妇女生育模式,服从归一化条件


；g(t)为人口迁移向量；x₀为人口初始年龄状态;β(t)为妇女总和生育率,它是系统控制变量;x(t)是人口状态变量。模型(3)是一个双线性系统。在这个模型中,


一项是t年代人口经死亡后留存到下一年的人口年龄构成。而


是 t年代出生的人口留存到下一年的人口,g(t)是t年代迁移人口留存到下一年的人口。在模型(3)中，方程左端表示t＋1年代的人口年龄构成,而方程右端则表现了t年代人口年龄的变化。因此在这个模型中，时间、出生、死亡和迁移四个因素以及它们之间的定量关系得到了完全描述。

在模型(1)、(2)、(3)中,观测变量就是人口指数，例如总人口数N(t)

人口控制就是通过改变、调节妇女总和生育率 β(t)来控制人口状态x(t)，达到改变和控制人口趋势的目的。

参考书目

宋健、于景元：《人口控制论》，科学出版社，北京，1985。Nathan Keyfitz,Introduction to the Mathematics of Population, Addison-Wesly Publishing Company, California, London, 1968.