什么是暂态复频域分析?

[拼音]：zantai fupinyu fenxi

[外文]：complex-frequency domain analysis of transient state

用拉普拉斯变换方法分析线性电路和系统的暂态。拉普拉斯变换常用以求线性常系数微分方程和偏微分方程的解。线性时不变集总参数电路和系统是用常系数线性微分方程描述的；线性时不变分布参数电路是由相应的偏微分方程描述的。它们中的暂态都可以用拉普拉斯变换方法求解。所以拉普拉斯变换在分析电工技术的问题中得到了广泛的应用，并且已成为分析线性电路和系统的一个常用的分析工具。

设时间t的函数f(t)，且f(t)=0，它的拉普拉斯变换F(s)是

(1)

式中s＝σ+jω，σ、ω为实数，j＝


，s即称为复频率。σ>σ₀，σ₀是能使式(1)收敛的最小的σ值，称为收敛横坐标。F(s)又称为f(t)的象函数，f(t)则称为F(s)的原函数。只要f(t)满足一些很宽的条件， 式(1)的积分收敛，f(t)的拉普拉斯变换便存在。给定一原函数f(t)，可由式(1)求其象函数。反之，由一象函数F(s)亦可求出其原函数f(t)

(2)

上式称为拉普拉斯反变换。计算式 (2)的积分常取复平面 s上由σ₀-j∞到σ₀+jω的直线作为积分路径。在此路径右侧，即Res>σ₀，F(s)是s的正则函数。

根据(1)、(2)两式，可以求出各个不同的f(t)与相应的F(s)。将许多这样的f(t)、F(s)记成一份表，便可以象利用积分表那样利用它。表中列出了一份简短的拉普拉斯转换表，其中有一些最常用的函数及其拉普拉斯变换式。

线性集总参数时不变电路中的电流、电压的求解问题，都可归结为给定电路的由基尔霍夫定律决定的一组微分积分方程的求解问题。这些方程具有以下两种形式。

（1）对任一节点在任一瞬间流出此节点的各电流的代数和为零(KCL)，即

∑i(t)=0

（2）对任一闭合回路在任一瞬间沿一回路方向的各电压的代数和为零(KVL)，即

∑u(t)=0

在对电路问题求解时还需要表示电路元件特性的方程，例如对电阻、电感、电容，电压、电流有以下关系

或

等等。

应用拉普拉斯变换，将以上诸方程中的各变量变换成相应的拉普拉斯变换式，便有

对于KCL：

∑I(s)=0

对于KVL：

∑U(s)=0

对于元件方程：

u_r(s)=RI(s)

u_L(s)=SLI(s)－Li(0^-)

或

i_r(s)=Gu_r(s)

i_C(s)=SCu_C(s)-_Cu_C(0)

等等。由上面的方程可以作出相应的变换后的等效电路图）。

对所欲分析的电路，将激励（电压源、电流源）以及所有变量变换成相应的拉普拉斯变换式后，得到一组未知量的象函数所应满足的代数方程组，解这样的方程就可求得所需的未知量的象函数。这样求得的象函数常具有有理函数，即两个s的多项式的比的形式，

利用部分分式法，假设分母多项式的零点相异，即D(s)=0时无重根(m>n)，可将F(s)写成m个简单分式之和

式中诸系数为


，立即可得F(s)的原函数

在D（s）=0有重根的情况下，也可以得到相应的求原函数的公式。为简单计，设D（s）=0有一个P 重根，D(s)=(s-s₁)^pD₁(s)，D₁(s₁)≠0，F(s)可写作

F(s)的部分分式可写作以下形式

式中的各系数A_i(i=1，2，…，P)可由下式求得

再用


，即可求得F(s)的原函数。