什么是相量法?

[拼音]：xiangliangfa

[外文]：phaser method

分析正弦稳态电路的一种方法。1893年由德国人C.P.施泰因梅茨首先提出。此法是用称为相量的复数来代表正弦量，将描述正弦稳态电路的微分（积分）方程变换成复数代数方程，从而在较大的程度上简化了电路的分析和计算。目前，在进行分析电路的正弦稳态时，人们几乎都采用这种方法。

正弦量(例如电流)可以表示成

式中符号


_m表示取后面的复数和复函数的虚部。

上式中的I_me^jψi是一个复数，用符号夒_m表示，称为正弦量的振幅相量，其值为

夒_m=I_me^jψi=I_mcosψ_i+jI_msinψ_i (2)

用有效值


代替振幅I_m，得到有效值相量夒，其值为

(3)

显然，在角频率ω已知的情况下，可以用振幅相量或有效值相量代表一个正弦量。

正弦量与它的相量是一一对应的。给定了正弦量的瞬时值表达式

可以用式中振幅（或有效值）和初相角组成相量

夒_m＝I_me^jψi或夒＝Ie^jψi给定了相量

夒_m＝I_me^jψi或夒＝Ie^jψi可以利用相量的模和幅角，以及已知的角频率组成正弦量的瞬时值表达式

i=I_msin(ωt+ψ_i)=


Isin(ωt+ψ_i)

相量是一个复数，复数在复平面上可以用一个矢量来表示，所以一个相量可以用复平面上的一个矢量来表示，如图1所示。这种表示相量的图称为相量图。若相量乘上e^jwt，则表示该相量的矢量以角速度ω绕原点反时针旋转，于是得到一个旋转矢量，如图2所示。这个旋转矢量称为旋转相量，它在任何时刻在虚轴上的投影即为正弦量在该时刻的瞬时值，如图3所示。

引入相量后，两个同频正弦量的加、减运算可以转化为两个相应的相量的加、减运算，相量的加减运算既可通过复数运算进行，也可在相量图上按矢量加、减法则进行。另外，常遇到的正弦量乘以任意实常数和正弦量对时间求导数的运算可分别转化为正弦量的相量乘以该任意实常数和正弦量的相量乘以的jω 运算。

在正弦稳态下，基尔霍夫定律中的电流和电压都是正弦量。用相量代表正弦电流和电压后，基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)分别变成

∑夒_m=0 或 ∑夒=0

∑妧_m=0 或 ∑妧=0

利用相量可将电路元件在时域中的电压电流关系转换成电压相量与电流相量的关系。正弦电路中几种常用元件的电压相量与电流相量的关系如表所示。将正弦交流电路中每个电路均用对应的相量电路模型代替，便得到一个与原电路相对应的相量电路模型，这种模型对正弦交流电路的计算很有用处。

正弦交流电路中一个不含独立电源且与外电路无耦合的一端口网络，其端口上的电压相量与电流相量的比值定义为该网络的入端复数阻抗，简称阻抗。它的倒数定义为该网络的入端复数导纳，简称导纳，分别用符号Z和Y表示。复数阻抗的实部称为等效电阻，虚部称为电抗，模称为阻抗模，幅角称为阻抗角，它们分别用符号R、X、|Z|、φ表示。复数导纳的实部称为等效电导，虚部称为电纳，模称为导纳模，幅角称为导纳角，它们分别用符号G、B、|Y|、φ┡表示，于是

Z =R+jX=|Z|e^jφ

Y =G+jB=|Y|e^jφ'

显然，阻抗模等于端口电压振幅（有效值）与端口电流振幅（有效值）的比值，阻抗角等于端口电压超前端口电流的角度；导纳模等于端口电流振幅(有效值)与端口电压振幅（有效值）的比值，导纳角等于端口电流超前端口电压的角度。

电阻元件、电感元件和电容元件都是最简单的一端口网络，若以Z_R、Z_L和Z_C表示三者的复数阻抗，则按定义分别是

和

若以Y_R、Y_L和Y_C表示三者的复数导纳，则按定义分别是

和

Y_C=jωC

显然，复数阻抗（复数导纳）的引入能使原非同类的元件归并为都以复数阻抗（复数导纳）来表征的同类元件，复数阻抗（复数导纳）在交流电路中的地位与直流电路中的电阻（电导）相当。

用此法计算电路有两种方式，一种方式是，先象暂态分析那样写出电路的微分方程，再将方程中的正弦量和对正弦量的运算按规则改换成相量和对相量的运算，得出与原微分方程相对应的含相量的代数方程，然后，解此方程求出待求相量。另一种方式，也是通常所用的方式，则是在原电路的相量电路模型上，使用KCL和KVL的相量形式和电路元件电压-电流关系的相量形式，如同计算直流电路那样，直接列出含相量的代数方程，然后解此方程求出待求相量。两种方式得到的解答完全一样。有了相量便不难写出原来需要求的正弦量。