关于二次曲面束介绍

[拼音]：erci qumianshu

[外文]：pencil of conicoids

在射影空间内，两个二次曲面

和

可交成一条空间四次曲线。特殊时，当两个二次曲面均是直纹曲面，且有一条公共母线，则这条四次曲线将表为一直线（即公共母线）和一条三次曲线。与二次曲线束的定义相似，通过S₁=0和S₂=0交线的二次曲面的全体，叫做二次曲面束。它的方程可写作：S₁-λS₂=0，其中λ是参数，由于S₁=0和S₂=0相交成四次曲线，故束中各曲面必通过这四次曲线。若已知一个二次曲面S=0和两个平面，且相交产生两个平截线，则过两个平截线的二次曲面束可写作:S-λU₁U₂=0，这里λ是参数，平面偶U₁U₂＝0可作为一个退化二次曲面。又若已知八个定点P_i(i=1，2，…，8)，可另取不同于P_i的二定点A及B，则由二次曲面的方程可知，通过九个点的二次曲面是惟一确定的，于是 P_i(i=1，2，…，8)和A或B分别决定两个二次曲面S₁=0和S₂=0，又因二次曲面束通过S₁=0，S₂=0的所有公共点，故也必通过八个定点P_i，而且S₁=0，S₂=0，的交线为四次曲线，故过八个定点的二次曲面束，必过一条四次曲线。

和二次曲线束的性质相类似，对于二次曲面束，有以下的性质：

（1）一个定点关于二次曲面束所有曲面的极平面必为一平面束；

（2）一个定平面关于二次曲面束所有曲面的极点，为一条三次曲线；

（3）一定直线关于二次曲面束所有曲面的极线，为一环形（或管形）曲面。

参考书目

1. 方德植、陈奕培编：《射影几何》，高等教育出版社，北京，1983。
2. W.C.Graustein，Higher Geometry，Macmillan， New York， 1948.