关于Ap权介绍

[拼音]：A_p quan

[外文]：A_p weight

保证某些算子在加权勒贝格空间L^p有界的权函数。设T是L^p(Rⁿ)到L^p(Rⁿ)的有界算子，即对任意ƒ ∈L^p(Rⁿ)，有

式中C与ƒ无关， 积分中的dx为勒贝格测度。设ω(x)≥0是定义在Rⁿ上的局部可积函数。问题是ω(x)满足什么样的条件，可保证算子T是L^p(Rⁿ，ω(x)dx)到L^p(Rⁿ，ω(x)dx)的有界算子，即对任意ƒ ∈L^p(Rⁿ，ω(x)dx)，有

式中C与ƒ 无关。1972年B.穆肯霍普特提出了下面的A_p条件。所谓ω(x)满足A_p条件(1<p<∞)是指存在常数C，使不等式

(1)对Rⁿ中所有的方块Q成立。这条件的意思是ω在Q的平均值与在Q 的平均值的p-1次幂的乘积是有界的。对p=1，所谓ω(x)满足A₁条件，是指不等式

对Rⁿ中的所有方块Q成立，式中C与Q无关。这意思是ω(x)在Q的平均值可以被ω(x)在Q的本性下界控制。这是等式(1)的极限情形。

最后，所谓ω(x)满足A_∞条件，是指存在常数C与δ>0，使得对Rⁿ中的任意方块Q以及Q中的任意勒贝格可测集E，有

，式中｜E｜表示 E的勒贝格测度。这条件的意思是指用ω(x)dx定义的测度，与勒贝格测度在某种意义下是可比较的。如果ω(x)满足A_p条件，就说ω(x)是一个A_p权。全体A_p权构成的函数集合也用A_p表示。1972年，穆肯霍普特首先证明了，若 T是哈代-李特尔伍德极大函数M，即

，则M(ƒ)是L^p(Rⁿ，ω(x)dx)到L^p(Rⁿ，ω(x)dx)的有界算子的充分必要条件是ω是A_p权(1<p<∞)。后来，R.A.亨特、穆肯霍普特、R.L.惠登、R.R.科伊夫曼与C.费弗曼等人证明了，一般的考尔德伦-赞格蒙奇异积分算子是L^p(Rⁿ，ω(x)dx)到L^p(Rⁿ，ω(x)dx)，有界算子的充分必要条件也是ω为A_p权(1<p<∞)。

上述结果对p=1与p=∞并不成立，但A₁、A_∞在有关理论中也是两类十分重要的权函数。它们与A_p有密切的关系。粗略地说就是，A₁是全体A_p的公共部分，而A_∞是包含全体A_p的最小集合。用符号写出来就是

P.琼斯于 1980年证明了A_p权的分解定理。这就是，设1<p<∞， 则ω∈A_p的充分必要条件是，其中ω₁，ω₂∈A₁。这就有可能把对A_p问题的讨论归结为A₁。

A_p权与哈代-李特尔伍德极大函数，BMO空间等有密切联系。例如，设ƒ 是任意的局部可积函数，M(ƒ)是它的哈代－李特尔伍德极大函数，0<δ<1，则(M(ƒ))^δ∈A₁。又如，设b是Rⁿ的局部可积函数，则b∈BMO的充分必要条件是存在ε>0，使得e^εb∈A₂。

A_p权具有一个很重要的性质，即它满足反向赫尔德不等式：若ω∈A_p，1≤p<∞，则存在δ>0与常数C，使得

对Rⁿ中的所有方块Q成立。这一性质在近代偏微分方程理论中有重要的应用。

A_p权是近代调和分析的一个重要工具。

参考书目

1. B. Muckenhoupt， Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal function，(Trans.Amer.math.Soc.Vol.165，pp.207～226，1972.
2. R.R.Coifman and C.feferman， Weighted Norm Inequalities ƒor Maximal functions and Singular Integrals，Studia Math.，Vol.51，pp.241～250，1974.