关于半序线性空间介绍

[拼音]：banxu xianxing kongjian

[外文]：semiordering linear space

一类赋有序关系的线性空间，称为有序线性空间。

如果只考察实值函数，则重要的空间如C（Ω），L^p(Ω)(1≤p<∞)，除了有线性结构、拓扑结构以外，还有个按照自然的序:

ƒ≥0，若ƒ(t)≥0对一切（几乎所有）t∈Ω都成立，构成的序结构。某些空间中的这种序或“正性”，在理论和应用上都是很重要的。

如果实线性空间E的某些元素偶（x，y）之间有关系x≥y，并存在①序关系；x≥x，又 x≥y 且 ，x≥y 且 ；

（2），x≥y，；则称E为半序线性空间。若进而还有③格关系:对x、y∈E恒有z∈E，使x≤z且y≤z，又x≤u，。就称E为向量格或里斯空间，且记③中之z为x∨y。

一般对具有性质①的集合，称为按关系≥是半序的，而上述性质②则意在线性结构与序结构的协调。

（1）设C_R(Ω)是紧豪斯多夫空间Ω上全体实值连续函数，其上的加法与数乘如通常定义。对 x、y∈C(Ω)定义，当t∈Ω。这时(x∨y)（t）=max{x（t），y（t）}，易见 C_R(Ω)是向量格。

（2）设（x，B）是可测空间。设V是全体在(x，B)上有限的，完全可加的集合函数。对μ₁，μ₂∈V 及实数α定义，E∈B;，E∈B，α是实的;，E∈B。这时，

当E∈B。可以证明，V是向量格。

（3）对希尔伯特空间H上有界线性算子A与B，如果对任何有界的T使AT=TA皆有BT=TB，则称B堻堻A。设 A是H上给定的有界自伴算子，令R_A={H；BA}，定义，当x∈H，则对有。这里而且C≥0，可以证明R_A是向量格。

在向量格中定义 ，x_＝(-x)∨0，|x|=x∨(-x)依次称为x的正部分、负部分、绝对值。在向量格中，每个元x都有若尔当分解。这是有界变差函数以及抽象测度论中的结果的推广。

对向量格E中的一族元素，若有x∈E，使得x≥x_α对一切α∈A成立，又任何y≥y_α对一切，则称x为之上确界，记作。同样，可定义下确界在一般的向量格中，上方有界的点列未必有上确界。如果对Χ之任何上方有界点列，必有上确界，则称Χ 为σ-完备的。前述之向量格V与R_A都是σ-完备的。

对E中的点列，若有单调递减的点列w_n使得，而，则称x_n序收敛于x₀，记作。

设Χ为实的巴拿赫空间。如果Χ还是一个向量格，而且

，

则称Χ为巴拿赫格。这是线性关系，格序关系以及范数的结合。

利用格序关系与序收敛，对σ-完备的向量格 Χ可定义绝对连续元素与奇异元素，从而将拉东-尼科迪姆定理推广成:Χ的每个元都可惟一地表示成绝对连续元与奇异元的和。又对某些σ-完备向量格中之元α，可惟一地确定一个单位分解{e_λ;-∞<λ<∞}，使，从而将自伴算子谱分解定理推广到适当的 σ- 完备向量格上。设Χ为巴拿赫格，如果还有x≥0，，则称Χ为抽象L¹空间。可以证明有测度空间Ω使得这种Χ线性的，保范序同构于L(Ω)，同样也可用格序关系与范数刻画L^p(Ω)与C(K)，这里K是紧空间。

参考书目

1. 关肇直编：《泛函分析讲义》，高等教育出版社，北京，1958。
2. A.C.Zaanen and W.A.J.Luxemburg，Riesz Spaces，North-Holland， Amsterdam，1971.