关于惯性椭球介绍

[拼音]：guanxing tuoqiu

[外文]：ellipsoid of inertia

又称惯量椭球。与计算刚体对通过某一点的任一轴的转动惯量相关的椭球，它是与刚体固联在一起的。在任何方向，从椭球的中心到它的表面的距离同刚体绕该方向轴转动的转动惯量的平方根成反比。它是法国数学家A.-L.柯西提出的，故又称柯西惯性椭球。刚体绕某一点转动的惯性可用惯性张量来描述。设Δm_i为组成刚体的质量微元，x_i、y_i、z_i为它在固联于刚体上的坐标系Oxyz中的坐标，则惯性张量在固联于刚体上的坐标系Oxyz中的分量式为：

记

则I_xx、I_yy、I_zz分别是刚体绕 x轴、y轴、z轴的转动惯量(或称惯性矩)；I_xy、I_yz、I_xz为各相应的惯性积（或称离心矩）。惯性张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过 O点任一轴的转动惯量的大小。设刚体绕通过O点的任一轴线转动，轴线的方向余弦为a、β、γ，则刚体对该轴线的转动惯量为：

I＝I_xxα²I_yyβ²I_zzγ²－2I_xyαβ -2I_yzβγ－2I_xzγα。

为了形象地解释刚体对通过同一点的诸转轴的转动惯量分布，柯西提出了惯性椭球的概念：在通过O点的任一转轴上取一点P，使，式中k是任意选定但不为零的椭球常数；I 为刚体绕该轴的转动惯量。当轴变动时，P(x，y，z)点满足的方程为：

I_xxx²+I_yyy²+I_zzz²-2I_xyxy-2I_yzyz-2I_zxzx＝k²。

这方程决定了一个椭球面，称为惯性椭球。在选定k的情况下，惯性椭球是和刚体固联的，它上面每一点的矢径长度恰好和刚体绕该矢径轴转动的回转半径成反比。 O点的柯西惯性椭球有三根互相垂直的主轴，称为刚体在O点的惯性主轴。如果选定三根主轴组成的右手直角坐标系为Oxyz，惯性椭球的方程就简化为：

I_xxx²+I_yyy²+I_zzz²＝k²。

此时惯性张量的分量式成为对角形，全部惯性积为零。

惯性主轴的动力学特征是：刚体当且仅当绕惯性主轴旋转时，其动量矩矢量才和角速度矢量共线。由此可以看出，惯性主轴的方向是惯性张量这个变换的主方向。惯性主轴是刚体的永久转轴。对于一根轴来说 (比如记它为Ox轴)，它为O点惯性主轴的充要条件是惯性积I_xy＝I_xz=0。 物体质量分布的回转对称轴是该轴上点的惯性主轴。物体质量分布对称面的法向轴是该轴与对称面交点的惯性主轴。物体质心处的惯性主轴称为该物体的中心主轴。可以证明，中心主轴点上的主轴方向和质心处的主轴方向完全一致。