[拼音]：Bei’er hanshu
[外文]：Baire function
在研究函数的连续性基础上产生的一类重要的函数。R.L.贝尔于1899年提出如下的函数分类方法：以区间[0，1]上的函数为例，[0，1]上的连续函数称为0类函数。0类函数序列点点收敛的极限函数，当它不是0类函数时，就称为1类函数。1类函数序列点点收敛的极限函数，如果不是0类或1类的函数时，便称为2类函数。依次对每一个自然数n，可以引入n类函数的概念。如果{ƒυ}，v=1，2，…，ƒυ是nυ类函数，{nυ}是自然数列的子序列，{ƒυ}点点收敛于ƒ(x)，当ƒ(x)不是任何n类函数(n是自然数)，称ƒ(x)是ω类函数。如此再继续定义ω+1，ω+2，…类函数。用超限归纳法对一切序数η，都可以定义η类函数。 所有这些类的函数统称为贝尔函数，而贝尔函数的全体称为贝尔函数类。[0，1]上的狄利克雷函数D（x）（它在有理点上取值为1，无理点上取值为零）不是1类函数，但，所以D(x)是2类函数。可以证明，当序数α<α1（α1是第一个不可列的序数）时，α类是不空的，但α1类是空集。另外，贝尔函数类的势（或基数）与[0，1]的势相等。但[0，1]上所有实函数的势大于[0，1]的势。因此定义在[0，1]上的函数中有很多不是贝尔函数。贝尔函数类的另一等价的定义是：包含连续函数全体且对点点收敛的极限运算封闭的最小函数类。
类似地，在n维空间与一般的拓扑空间也可引入贝尔函数类。
波莱尔集深入讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类。设G、F分别表示 n维欧几里得空间Rn中开集、闭集全体。凡是能表示成G（或F）中一列集{An}的交 (或和)的集的全体记为Gδ（或Fσ）。凡能表示成Gδ（或Fσ）中一列集{An} 的和（或交）的集的全体记为Gδσ(或Fσδ)，如此又继续可以定义出新的集类Gδσδ、Fσδσ，…。同贝尔函数类一样，对一切序数可用超限归纳法来依次定义新的集类。同样可以证明：当序数α<α1时，上述定义能产生新类型的集，而从α1开始就不再产生新类型集了。由上述方式得到的每个集称为Rn上的波莱尔集。波莱尔集全体称为 Rn上波莱尔集类(也称波莱尔域)，记为B(Rn)。波莱尔集类还有几种等价的定义:B(Rn)是包含Rn中一切有限“立方体”的最小σ环；B(Rn)是包含Rn中一切开集的最小σ环；B( Rn)是包含Rn中一切闭集的最小σ环。（见测度论）
在一般拓扑空间中可类似地引入波莱尔集类。
贝尔函数与波莱尔可测函数设ƒ是拓扑空间Χ上的实函数，如果对任何实数с，集｛x│ƒ(x)<с｝是波莱尔集，则称ƒ是Χ上的波莱尔可测函数。Χ上的贝尔函数都是Χ上的波莱尔可测函数。同样，设E是Χ的子集，如果E的特征函数IE(即在E上值为1，E的余集上值为0的函数)是Χ上的贝尔函数，则称E是贝尔集。贝尔集都是波莱尔集。当Χ=Rn时，波莱尔可测函数（波莱尔可测集）都是贝尔函数（贝尔集）。
解析集深入研究直线上波莱尔集与勒贝格可测集的关系时发现的重要集类，它们在近代随机过程中有广泛的应用。设(Ω，F)是可测空间，E为紧的度量空间，记K(E)×F={A×F是E中的紧集，F∈F}，(K(E)×F)σδ是K(E)×F中的集作可列和后再进行可列交的运算而得到的集类。设B∈(K(E)×F)σδ，称B在Ω上的投影Ⅱ(B)为Ω中的F解析集。它们的全体记为φ(F)。若用P表示(Ω，F)上的概率测度全体，Fp(p∈P)表示F用p作完全化扩张而得到的σ代数，则利用乔格的容度理论可证明。
特别，当E=Rn，n=1，2…，Ω=[0，1]，F=B[0，1]时，EX[0，1]上的波莱尔集在[0，1]上的投影是解析集，并且φ(F)是[0，1]上勒贝格可测集类的真子集。
